Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmulf 23826
 Description: The product rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.df (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvmulf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)))

Proof of Theorem dvmulf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
21adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3 dvaddf.df . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
4 dvbsss 23786 . . . . . 6 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
53, 4syl6eqssr 3762 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
65adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋𝑆)
7 dvaddf.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
87adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
9 dvaddf.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
109adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
113eleq2d 2789 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥𝑋))
1211biimpar 503 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
13 dvaddf.dg . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1413eleq2d 2789 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥𝑋))
1514biimpar 503 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
162, 6, 8, 6, 10, 12, 15dvmul 23824 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))‘𝑥) = ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥))))
1716mpteq2dva 4852 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥)))))
18 dvfg 23790 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))⟶ℂ)
199, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))⟶ℂ)
20 recnprss 23788 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
22 mulcl 10133 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
2322adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
249, 5ssexd 4913 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ V)
25 inidm 3930 . . . . . . . 8 (𝑋𝑋) = 𝑋
2623, 1, 7, 24, 24, 25off 7029 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
2721, 26, 5dvbss 23785 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) ⊆ 𝑋)
2821adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
29 fvexd 6316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
30 fvexd 6316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V)
31 dvfg 23790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
329, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
34 ffun 6161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
35 funfvbrb 6445 . . . . . . . . . . . 12 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
3712, 36mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
38 dvfg 23790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
399, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
41 ffun 6161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
42 funfvbrb 6445 . . . . . . . . . . . 12 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4340, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4415, 43mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
45 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
462, 6, 8, 6, 28, 29, 30, 37, 44, 45dvmulbr 23822 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥))))
47 reldv 23754 . . . . . . . . . 10 Rel (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))
4847releldmi 5469 . . . . . . . . 9 (𝑥(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)))
4946, 48syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)))
5049ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))))
5150ssrdv 3715 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)))
5227, 51eqssd 3726 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) = 𝑋)
5352feq2d 6144 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
5419, 53mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
5554feqmptd 6363 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))‘𝑥)))
56 ovexd 6795 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ V)
57 ovexd 6795 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ V)
58 fvexd 6316 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ V)
593feq2d 6144 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
6032, 59mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
6160feqmptd 6363 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
627feqmptd 6363 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
6324, 29, 58, 61, 62offval2 7031 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥))))
64 fvexd 6316 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ V)
6513feq2d 6144 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
6639, 65mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
6766feqmptd 6363 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
681feqmptd 6363 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
6924, 30, 64, 67, 68offval2 7031 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥))))
7024, 56, 57, 63, 69offval2 7031 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝑥𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥)))))
7117, 55, 703eqtr4d 2768 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304   ⊆ wss 3680  {cpr 4287   class class class wbr 4760   ↦ cmpt 4837  dom cdm 5218  Fun wfun 5995  ⟶wf 5997  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765   ∘𝑓 cof 7012  ℂcc 10047  ℝcr 10048   + caddc 10052   · cmul 10054  TopOpenctopn 16205  ℂfldccnfld 19869   D cdv 23747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751 This theorem is referenced by:  dvcmulf  23828  dvexp  23836  dvmptmul  23844  expgrowth  38953  binomcxplemnotnn0  38974  dvmulcncf  40560
 Copyright terms: Public domain W3C validator