Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmulbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmulbr 23747
 Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmul 23749. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
dvmulbr (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))))

Proof of Theorem dvmulbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
3 dvadd.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvaddbr.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 dvadd.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
7 dvadd.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 23707 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
91, 8mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
109simpld 474 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋))
11 dvadd.bg . . . . . 6 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
12 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
13 dvadd.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
14 dvadd.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑆)
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 23707 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
1611, 15mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
1716simpld 474 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌))
1810, 17elind 3831 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
193cnfldtopon 22633 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20 resttopon 21013 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2119, 5, 20sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
22 topontop 20766 . . . . 5 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
24 toponuni 20767 . . . . . 6 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
2521, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (𝐽t 𝑆))
267, 25sseqtrd 3674 . . . 4 (𝜑𝑋 (𝐽t 𝑆))
2714, 25sseqtrd 3674 . . . 4 (𝜑𝑌 (𝐽t 𝑆))
28 eqid 2651 . . . . 5 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
2928ntrin 20913 . . . 4 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆) ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
3023, 26, 27, 29syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
3118, 30eleqtrrd 2733 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)))
326adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
33 inss1 3866 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
34 eldifi 3765 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋𝑌))
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋𝑌))
3633, 35sseldi 3634 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧𝑋)
3732, 36ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
385, 6, 7dvbss 23710 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
39 reldv 23679 . . . . . . . . . . 11 Rel (𝑆 D 𝐹)
40 releldm 5390 . . . . . . . . . . 11 ((Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
4139, 1, 40sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
4238, 41sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑋)
436, 42ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4537, 44subcld 10430 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
467, 5sstrd 3646 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
4746adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑋 ⊆ ℂ)
4847, 36sseldd 3637 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
4946, 42sseldd 3637 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5049adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
5148, 50subcld 10430 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
52 eldifsni 4353 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝐶)
5352adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧𝐶)
5448, 50, 53subne0d 10439 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
5545, 51, 54divcld 10839 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
5613adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
57 inss2 3867 . . . . . . 7 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
5857, 35sseldi 3634 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧𝑌)
5956, 58ffvelrnd 6400 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
6055, 59mulcld 10098 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
61 ssdif 3778 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑌 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
6257, 61mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
6362sselda 3636 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}))
6414, 5sstrd 3646 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
655, 13, 14dvbss 23710 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) ⊆ 𝑌)
66 reldv 23679 . . . . . . . . 9 Rel (𝑆 D 𝐺)
67 releldm 5390 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝑆 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
6866, 11, 67sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
6965, 68sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑌)
7013, 64, 69dvlem 23705 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
7163, 70syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
7271, 44mulcld 10098 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
73 ssid 3657 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
7473a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
75 txtopon 21442 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
7619, 19, 75mp2an 708 . . . . . 6 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
7776toponunii 20769 . . . . . . 7 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
7877restid 16141 . . . . . 6 ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) → ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ)) = (𝐽 ×t 𝐽))
7976, 78ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ)) = (𝐽 ×t 𝐽)
8079eqcomi 2660 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
819simprd 478 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
826, 46, 42dvlem 23705 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
8382, 4fmptd 6425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
84 ssdif 3778 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑋 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
8533, 84mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
8646ssdifssd 3781 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
87 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
8833, 7syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑆)
8988, 25sseqtrd 3674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ (𝐽t 𝑆))
90 difssd 3771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋) ⊆ (𝐽t 𝑆))
9189, 90unssd 3822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ (𝐽t 𝑆))
92 ssun1 3809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)))
9428ntrss 20907 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
9523, 91, 93, 94syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
9695, 31sseldd 3637 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
9796, 42elind 3831 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
9833a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋)
99 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋)
10028, 99restntr 21034 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋) → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
10123, 26, 98, 100syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
1023cnfldtop 22634 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐽 ∈ Top
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽 ∈ Top)
104 cnex 10055 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ∈ V
105 ssexg 4837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
1065, 104, 105sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ V)
107 restabs 21017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽t 𝑋))
108103, 7, 106, 107syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽t 𝑋))
109108fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋)) = (int‘(𝐽t 𝑋)))
110109fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
111101, 110eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
11297, 111eleqtrd 2732 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
113 undif1 4076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∪ {𝐶})
11442snssd 4372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑋)
115 ssequn2 3819 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐶} ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
116114, 115sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
117113, 116syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑋)
118117oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t 𝑋))
119118fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽t 𝑋)))
120 undif1 4076 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶})
12142, 69elind 3831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝑌))
122121snssd 4372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐶} ⊆ (𝑋𝑌))
123 ssequn2 3819 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐶} ⊆ (𝑋𝑌) ↔ ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
124122, 123sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
125120, 124syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
126119, 125fveq12d 6235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
127112, 126eleqtrrd 2733 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
12883, 85, 86, 3, 87, 127limcres 23695 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
12985resmptd 5487 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))))
130129oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
131128, 130eqtr3d 2687 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
13281, 131eleqtrd 2732 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
133 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
134133, 3dvcnp2 23728 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑌𝑆) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
1355, 13, 14, 68, 134syl31anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
1363, 133cnplimc 23696 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝐶𝑌) → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
13764, 69, 136syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
138135, 137mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶)))
139138simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))
140 difss 3770 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋𝑌)
141140, 57sstri 3645 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
142141a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌)
143 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝐽t (𝑌 ∪ {𝐶})) = (𝐽t (𝑌 ∪ {𝐶}))
144 difssd 3771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌) ⊆ (𝐽t 𝑆))
14589, 144unssd 3822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ (𝐽t 𝑆))
146 ssun1 3809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)))
14828ntrss 20907 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
14923, 145, 147, 148syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
150149, 31sseldd 3637 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
151150, 69elind 3831 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
15257a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
153 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌)
15428, 153restntr 21034 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌) → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
15523, 27, 152, 154syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
156 restabs 21017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
157103, 14, 106, 156syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
158157fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌)) = (int‘(𝐽t 𝑌)))
159158fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
160155, 159eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
161151, 160eleqtrd 2732 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
16269snssd 4372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑌)
163 ssequn2 3819 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶} ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
164162, 163sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
165164oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽t (𝑌 ∪ {𝐶})) = (𝐽t 𝑌))
166165fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (int‘(𝐽t (𝑌 ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽t 𝑌)))
167166, 125fveq12d 6235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(𝐽t (𝑌 ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
168161, 167eleqtrrd 2733 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t (𝑌 ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
16913, 142, 64, 3, 143, 168limcres 23695 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = (𝐺 lim 𝐶))
17013, 142feqresmpt 6289 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)))
171170oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
172169, 171eqtr3d 2687 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
173139, 172eleqtrd 2732 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
1743mulcn 22717 . . . . . 6 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1755, 6, 7dvcl 23708 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
1761, 175mpdan 703 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
17713, 69ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
178 opelxpi 5182 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ ℂ) → ⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
179176, 177, 178syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
18077cncnpi 21130 . . . . . 6 (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩))
181174, 179, 180sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩))
18255, 59, 74, 74, 3, 80, 132, 173, 181limccnp2 23701 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · (𝐺𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧))) lim 𝐶))
18316simprd 478 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
18470, 12fmptd 6425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))):(𝑌 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
18564ssdifssd 3781 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
186 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
187 undif1 4076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑌 ∪ {𝐶})
188187, 164syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑌)
189188oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t 𝑌))
190189fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽t 𝑌)))
191190, 125fveq12d 6235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
192161, 191eleqtrrd 2733 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
193184, 62, 185, 3, 186, 192limcres 23695 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
19462resmptd 5487 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
195194oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
196193, 195eqtr3d 2687 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
197183, 196eleqtrd 2732 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
19888, 5sstrd 3646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ ℂ)
199 cncfmptc 22761 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝑋𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝑋𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) ∈ ((𝑋𝑌)–cn→ℂ))
20043, 198, 74, 199syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) ∈ ((𝑋𝑌)–cn→ℂ))
201 eqidd 2652 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐶 → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶))
202200, 121, 201cnmptlimc 23699 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶))
20343adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑋𝑌)) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
204 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑋𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) = (𝑧 ∈ (𝑋𝑌) ↦ (𝐹𝐶))
205203, 204fmptd 6425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋𝑌) ↦ (𝐹𝐶)):(𝑋𝑌)⟶ℂ)
206205limcdif 23685 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶) = (((𝑧 ∈ (𝑋𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶))
207 resmpt 5484 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋𝑌) → ((𝑧 ∈ (𝑋𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐹𝐶)))
208140, 207mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐹𝐶)))
209208oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶))
210206, 209eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶))
211202, 210eleqtrd 2732 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶))
2125, 13, 14dvcl 23708 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
21311, 212mpdan 703 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
214 opelxpi 5182 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
215213, 43, 214syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
21677cncnpi 21130 . . . . . 6 (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩))
217174, 215, 216sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩))
21871, 44, 74, 74, 3, 80, 197, 211, 217limccnp2 23701 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 · (𝐹𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶))) lim 𝐶))
2193addcn 22715 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
220176, 177mulcld 10098 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
221213, 43mulcld 10098 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
222 opelxpi 5182 . . . . . 6 (((𝐾 · (𝐺𝐶)) ∈ ℂ ∧ (𝐿 · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ) → ⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
223220, 221, 222syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
22477cncnpi 21130 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩))
225219, 223, 224sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩))
22660, 72, 74, 74, 3, 80, 182, 218, 225limccnp2 23701 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
22742adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶𝑋)
22832, 227ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
22937, 228subcld 10430 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
230229, 59mulcld 10098 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
23169adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶𝑌)
23256, 231ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
23359, 232subcld 10430 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
234233, 228mulcld 10098 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
23547, 227sseldd 3637 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
23648, 235subcld 10430 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
237230, 234, 236, 54divdird 10877 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶))) / (𝑧𝐶)) = (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) / (𝑧𝐶)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))))
23837, 59mulcld 10098 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
239228, 59mulcld 10098 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
240228, 232mulcld 10098 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
241238, 239, 240npncand 10454 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧))) + (((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶))))
24237, 228, 59subdird 10525 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧))))
243233, 228mulcomd 10099 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) = ((𝐹𝐶) · ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
244228, 59, 232subdid 10524 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐶) · ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = (((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶))))
245243, 244eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) = (((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶))))
246242, 245oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶))) = ((((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧))) + (((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)))))
247 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
2486, 247syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
249248adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐹 Fn 𝑋)
250 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝑌⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝑌)
25113, 250syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝑌)
252251adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐺 Fn 𝑌)
253 ssexg 4837 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
25446, 104, 253sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ V)
255254adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑋 ∈ V)
256 ssexg 4837 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
25764, 104, 256sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ V)
258257adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑌 ∈ V)
259 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) = (𝑋𝑌)
260 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
261 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
262249, 252, 255, 258, 259, 260, 261ofval 6948 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
26335, 262mpdan 703 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
264 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶))
265 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶𝑌) → (𝐺𝐶) = (𝐺𝐶))
266249, 252, 255, 258, 259, 264, 265ofval 6948 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)))
267121, 266mpidan 705 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)))
268263, 267oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶))))
269241, 246, 2683eqtr4d 2695 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶))) = (((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)))
270269oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶))) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
271229, 59, 236, 54div23d 10876 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)))
272233, 228, 236, 54div23d 10876 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)))
273271, 272oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) / (𝑧𝐶)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶))))
274237, 270, 2733eqtr3d 2693 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶))))
275274mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)))))
276275oveq1d 6705 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
277226, 276eleqtrrd 2733 . 2 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
278 eqid 2651 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
279 mulcl 10058 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
280279adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
281280, 6, 13, 254, 257, 259off 6954 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺):(𝑋𝑌)⟶ℂ)
2822, 3, 278, 5, 281, 88eldv 23707 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ∧ ((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
28331, 277, 282mpbir2and 977 1 (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ⟨cop 4216  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143   ↾ cres 5145  Rel wrel 5148   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  ℂcc 9972   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304   / cdiv 10722   ↾t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ℂfldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  intcnt 20869   Cn ccn 21076   CnP ccnp 21077   ×t ctx 21411  –cn→ccncf 22726   limℂ climc 23671   D cdv 23672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676 This theorem is referenced by:  dvmul  23749  dvmulf  23751  dvef  23788
 Copyright terms: Public domain W3C validator