MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptim 23932
Description: Function-builder for derivative, imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptcj.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcj.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptcj.da (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvmptim (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptim
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 10220 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 dvmptcj.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
43cjcld 14135 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
53, 4subcld 10584 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
6 dvmptcj.b . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
7 dvmptcj.da . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
82, 3, 6, 7dvmptcl 23921 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
98cjcld 14135 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
108, 9subcld 10584 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 − (∗‘𝐵)) ∈ ℂ)
113, 6, 7dvmptcj 23930 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (∗‘𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (∗‘𝐵)))
122, 3, 6, 7, 4, 9, 11dvmptsub 23929 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 − (∗‘𝐴)))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐵 − (∗‘𝐵))))
13 2mulicn 11447 . . . . 5 (2 · i) ∈ ℂ
14 2muline0 11448 . . . . 5 (2 · i) ≠ 0
1513, 14reccli 10947 . . . 4 (1 / (2 · i)) ∈ ℂ
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1 / (2 · i)) ∈ ℂ)
172, 5, 10, 12, 16dvmptcmul 23926 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴))))) = (𝑥𝑋 ↦ ((1 / (2 · i)) · (𝐵 − (∗‘𝐵)))))
18 imval2 14090 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))
193, 18syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))
20 divrec2 10894 . . . . . . 7 (((𝐴 − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)) = ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
2113, 14, 20mp3an23 1565 . . . . . 6 ((𝐴 − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ → ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)) = ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
225, 21syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)) = ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
2319, 22eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (ℑ‘𝐴) = ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
2423mpteq2dva 4896 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴)))))
2524oveq2d 6829 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐴))) = (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴))))))
26 imval2 14090 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) = ((𝐵 − (∗‘𝐵)) / (2 · i)))
278, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (ℑ‘𝐵) = ((𝐵 − (∗‘𝐵)) / (2 · i)))
28 divrec2 10894 . . . . . 6 (((𝐵 − (∗‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((𝐵 − (∗‘𝐵)) / (2 · i)) = ((1 / (2 · i)) · (𝐵 − (∗‘𝐵))))
2913, 14, 28mp3an23 1565 . . . . 5 ((𝐵 − (∗‘𝐵)) ∈ ℂ → ((𝐵 − (∗‘𝐵)) / (2 · i)) = ((1 / (2 · i)) · (𝐵 − (∗‘𝐵))))
3010, 29syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 − (∗‘𝐵)) / (2 · i)) = ((1 / (2 · i)) · (𝐵 − (∗‘𝐵))))
3127, 30eqtrd 2794 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (ℑ‘𝐵) = ((1 / (2 · i)) · (𝐵 − (∗‘𝐵))))
3231mpteq2dva 4896 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ ((1 / (2 · i)) · (𝐵 − (∗‘𝐵)))))
3317, 25, 323eqtr4d 2804 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {cpr 4323  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  ici 10130   · cmul 10133  cmin 10458   / cdiv 10876  2c2 11262  ccj 14035  cim 14037   D cdv 23826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator