Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptfprodlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptfprodlem 40477
 Description: Induction step for dvmptfprod 40478. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprodlem.xph 𝑥𝜑
dvmptfprodlem.iph 𝑖𝜑
dvmptfprodlem.jph 𝑗𝜑
dvmptfprodlem.if 𝑖𝐹
dvmptfprodlem.jg 𝑗𝐺
dvmptfprodlem.a ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
dvmptfprodlem.e (𝜑𝐸 ∈ V)
dvmptfprodlem.db (𝜑 → ¬ 𝐸𝐷)
dvmptfprodlem.ss (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
dvmptfprodlem.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptfprodlem.c (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvp (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖𝐷 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
dvmptfprodlem.14 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvf (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐹)) = (𝑥𝑋𝐺))
dvmptfprodlem.f (𝑖 = 𝐸𝐴 = 𝐹)
dvmptfprodlem.cg (𝑗 = 𝐸𝐶 = 𝐺)
Assertion
Ref Expression
dvmptfprodlem (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗,𝑥   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥   𝑗,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐼(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem dvmptfprodlem
StepHypRef Expression
1 dvmptfprodlem.xph . . . 4 𝑥𝜑
2 dvmptfprodlem.iph . . . . . . 7 𝑖𝜑
3 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑖𝑥
4 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑖𝑋
53, 4nfel 2806 . . . . . . 7 𝑖 𝑥𝑋
62, 5nfan 1868 . . . . . 6 𝑖(𝜑𝑥𝑋)
7 dvmptfprodlem.if . . . . . . 7 𝑖𝐹
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑖𝐹)
9 dvmptfprodlem.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
10 snfi 8079 . . . . . . . . 9 {𝐸} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐸} ∈ Fin)
12 unfi 8268 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {𝐸} ∈ Fin) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
139, 11, 12syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
1413adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
15 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝜑)
16 dvmptfprodlem.ss . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
1716sselda 3636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
1817adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
19 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑥𝑋)
20 dvmptfprodlem.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2115, 18, 19, 20syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 dvmptfprodlem.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ V)
23 snidg 4239 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ V → 𝐸 ∈ {𝐸})
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ {𝐸})
25 elun2 3814 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ {𝐸} → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
2726adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
28 dvmptfprodlem.f . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐸𝐴 = 𝐹)
2928adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹)
306, 8, 14, 21, 27, 29fprodsplit1f 14765 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
31 difundir 3913 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸}))
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})))
33 dvmptfprodlem.db . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐸𝐷)
34 difsn 4360 . . . . . . . . . . 11 𝐸𝐷 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
36 difid 3981 . . . . . . . . . . 11 ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅)
3835, 37uneq12d 3801 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})) = (𝐷 ∪ ∅))
39 un0 4000 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷)
4132, 38, 403eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = 𝐷)
4241prodeq1d 14695 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 = ∏𝑖𝐷 𝐴)
4342oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
4443adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
4530, 44eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
461, 45mpteq2da 4776 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴)))
4746oveq2d 6706 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))))
48 dvmptfprodlem.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4916, 26sseldd 3637 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐼)
5049adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸𝐼)
51 simpl 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝜑)
52 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
5351, 50, 523jca 1261 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋))
54 nfcv 2793 . . . . 5 𝑖𝐸
55 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑖 𝐸𝐼
562, 55, 5nf3an 1871 . . . . . 6 𝑖(𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)
57 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑖
587, 57nfel 2806 . . . . . 6 𝑖 𝐹 ∈ ℂ
5956, 58nfim 1865 . . . . 5 𝑖((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
60 ancom 465 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) ↔ (𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)))
6160imbi1i 338 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐴 = 𝐹))
62 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 𝐹𝐹 = 𝐴)
6362imbi2i 325 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
6461, 63bitri 264 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
6529, 64mpbi 220 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
66653adantr2 1241 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
67663adant2 1100 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
68 simp3 1083 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋))
69 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖𝐼𝐸𝐼))
70693anbi2d 1444 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐸 → ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) ↔ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)))
7170imbi1d 330 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
7271biimpa 500 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
73723adant3 1101 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
7468, 73mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7567, 74eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 ∈ ℂ)
76753exp 1283 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
77202a1i 12 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
7876, 77impbid 202 . . . . 5 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
7954, 59, 78, 20vtoclgf 3295 . . . 4 (𝐸𝐼 → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ))
8050, 53, 79sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
81 dvmptfprodlem.14 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
82 dvmptfprodlem.dvf . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐹)) = (𝑥𝑋𝐺))
8351, 9syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ Fin)
8451adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝜑)
8516adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐷) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
86 elun1 3813 . . . . . . . 8 (𝑖𝐷𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
8786adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐷) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
8885, 87sseldd 3637 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐷) → 𝑖𝐼)
8988adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑖𝐼)
9052adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑥𝑋)
9184, 89, 90, 20syl3anc 1366 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
926, 83, 91fprodclf 14767 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖𝐷 𝐴 ∈ ℂ)
93 dvmptfprodlem.jph . . . . 5 𝑗𝜑
94 nfv 1883 . . . . 5 𝑗 𝑥𝑋
9593, 94nfan 1868 . . . 4 𝑗(𝜑𝑥𝑋)
96 dvmptfprodlem.c . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
97 diffi 8233 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
989, 97syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
9998adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
100 eldifi 3765 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) → 𝑖𝐷)
101100adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝑖𝐷)
102101, 91syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1036, 99, 102fprodclf 14767 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
104103adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
10596, 104mulcld 10098 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
10695, 83, 105fsumclf 40119 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
107 dvmptfprodlem.dvp . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖𝐷 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
1081, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107dvmptmulf 40470 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))))
109 dvmptfprodlem.jg . . . . . 6 𝑗𝐺
110 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑗 ·
111 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑗𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴
112109, 110, 111nfov 6716 . . . . 5 𝑗(𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
11351, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ V)
11451, 33syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝐸𝐷)
115 diffi 8233 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
11613, 115syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
117116adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
118 eldifi 3765 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
119118adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
120119, 21syldan 486 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1216, 117, 120fprodclf 14767 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
122121adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
12396, 122mulcld 10098 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
124 dvmptfprodlem.cg . . . . . 6 (𝑗 = 𝐸𝐶 = 𝐺)
125 sneq 4220 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → {𝑗} = {𝐸})
126125difeq2d 3761 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐸 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}))
127126prodeq1d 14695 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐸 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
128124, 127oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑗 = 𝐸 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
12941, 9eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
130129adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
13151adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝜑)
13216adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
133 eldifi 3765 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
134133adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
135132, 134sseldd 3637 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
136135adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
13752adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑥𝑋)
138131, 136, 137, 20syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1396, 130, 138fprodclf 14767 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 ∈ ℂ)
14081, 139mulcld 10098 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) ∈ ℂ)
14195, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140fsumsplitsn 14518 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)))
142 difundir 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗}))
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})))
144 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 𝑗𝐷
1451, 144nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝜑𝑗𝐷)
146 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝑥 = 𝐸)
147146eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝐸 = 𝑥)
148147adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑥)
149 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
150 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗 = 𝑗)
151148, 149, 1503eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
152151adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
153 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗𝐷)
154152, 153eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸𝐷)
15533ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → ¬ 𝐸𝐷)
156154, 155pm2.65da 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 = 𝑗)
157 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ {𝑗} ↔ 𝑥 = 𝑗)
158156, 157sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
159158ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐷) → (𝑥 ∈ {𝐸} → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗}))
160145, 159ralrimi 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐷) → ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
161 disj 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
162160, 161sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝐷) → ({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅)
163 disjdif2 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝐷) → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
165164uneq2d 3800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
166143, 165eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
167166prodeq1d 14695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
168167adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
169 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖 𝑗𝐷
1706, 169nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷)
17199adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
17251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝜑)
173172, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐸 ∈ V)
174 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸𝐷 → ¬ 𝐸𝐷)
175174intnanrd 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸𝐷 → ¬ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐸𝐷 → ¬ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
177 eldif 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) ↔ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
178176, 177sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐸𝐷 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
17933, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
180172, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
181102adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
18280adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐹 ∈ ℂ)
183170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182fprodsplitsn 14764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
184 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹) = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
185168, 183, 1843eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
186185oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
18796, 104, 182mulassd 10101 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
188187eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
189186, 188eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
190189ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑗𝐷 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
19195, 190ralrimi 2986 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
192191sumeq2d 14476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
19395, 83, 80, 105fsummulc1f 40120 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
194193eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
195 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
196192, 194, 1953eqtrd 2689 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
197106, 80mulcld 10098 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) ∈ ℂ)
198196, 197eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
199198, 140addcomd 10276 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
20042oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
201200adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
202201, 196oveq12d 6708 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
203141, 199, 2023eqtrrd 2690 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)) = Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴))
2041, 203mpteq2da 4776 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
20547, 108, 2043eqtrd 2689 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212   ↦ cmpt 4762  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972  ℝcr 9973   + caddc 9977   · cmul 9979  Σcsu 14460  ∏cprod 14679   D cdv 23672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-prod 14680  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676 This theorem is referenced by:  dvmptfprod  40478
 Copyright terms: Public domain W3C validator