Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptdiv 23956
 Description: Function-builder for derivative, quotient rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptdiv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptdiv.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptdiv.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptdiv.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptdiv.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
dvmptdiv.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
dvmptdiv.dc (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
Assertion
Ref Expression
dvmptdiv (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvmptdiv
StepHypRef Expression
1 dvmptdiv.a . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 dvmptdiv.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
32eldifad 3733 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
4 eldifsn 4451 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
52, 4sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
65simprd 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ≠ 0)
71, 3, 6divrecd 11005 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
87mpteq2dva 4876 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶))))
98oveq2d 6808 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶)))))
10 dvmptdiv.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
11 dvmptdiv.b . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
12 dvmptdiv.da . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
133, 6reccld 10995 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
14 1cnd 10257 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15 dvmptdiv.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 10261 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · 𝐷) ∈ ℂ)
173sqcld 13212 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
186neneqd 2947 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝐶 = 0)
19 sqeq0 13133 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
203, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
2118, 20mtbird 314 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ (𝐶↑2) = 0)
2221neqned 2949 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶↑2) ≠ 0)
2316, 17, 22divcld 11002 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
2423negcld 10580 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
25 1cnd 10257 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
26 dvmptdiv.dc . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
2710, 25, 2, 15, 26dvrecg 23955 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (1 / 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2))))
2810, 1, 11, 12, 13, 24, 27dvmptmul 23943 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶)))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴))))
2910, 1, 11, 12dvmptcl 23941 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
3029, 3mulcld 10261 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
3130, 17, 22divcld 11002 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
3215, 1mulcld 10261 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
3332, 17, 22divcld 11002 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
3431, 33negsubd 10599 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) + -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
3529, 14, 3, 6div12d 11038 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 · (1 / 𝐶)) = (1 · (𝐵 / 𝐶)))
3629, 3, 6divcld 11002 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
3736mulid2d 10259 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · (𝐵 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
383sqvald 13211 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
3938oveq2d 6808 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶 · 𝐶)))
4029, 3, 3, 6, 6divcan5rd 11029 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
4139, 40eqtr2d 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 / 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)))
4235, 37, 413eqtrd 2808 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 · (1 / 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)))
4315mulid2d 10259 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
4443oveq1d 6807 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) = (𝐷 / (𝐶↑2)))
4544negeqd 10476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) = -(𝐷 / (𝐶↑2)))
4645oveq1d 6807 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴) = (-(𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
4715, 17, 22divcld 11002 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
4847, 1mulneg1d 10684 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (-(𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
4915, 1, 17, 22div23d 11039 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)) = ((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
5049eqcomd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
5150negeqd 10476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → -((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
5246, 48, 513eqtrd 2808 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
5342, 52oveq12d 6810 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴)) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) + -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
5430, 32, 17, 22divsubdird 11041 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2)) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
5534, 53, 543eqtr4d 2814 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴)) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2)))
5655mpteq2dva 4876 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
579, 28, 563eqtrd 2808 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3718  {csn 4314  {cpr 4316   ↦ cmpt 4861  (class class class)co 6792  ℂcc 10135  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   − cmin 10467  -cneg 10468   / cdiv 10885  2c2 11271  ↑cexp 13066   D cdv 23846 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-t1 21338  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850 This theorem is referenced by:  dvdivf  40649  dvdivbd  40650  fourierdlem56  40890  fourierdlem57  40891
 Copyright terms: Public domain W3C validator