MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvloglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvloglem 24439
Description: Lemma for dvlog 24442. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvloglem (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem dvloglem
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 24356 . . . . . 6 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2 f1ofun 6177 . . . . . 6 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 Fun log
4 logcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54logdmss 24433 . . . . . 6 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 f1odm 6179 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → dom log = (ℂ ∖ {0}))
71, 6ax-mp 5 . . . . . 6 dom log = (ℂ ∖ {0})
85, 7sseqtr4i 3671 . . . . 5 𝐷 ⊆ dom log
9 funimass4 6286 . . . . 5 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π))))
103, 8, 9mp2an 708 . . . 4 ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
114ellogdm 24430 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
1211simplbi 475 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
134logdmn0 24431 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
1412, 13logcld 24362 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
1514imcld 13979 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
1612, 13logimcld 24363 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (-π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
1716simpld 474 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
184logdmnrp 24432 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
19 lognegb 24381 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2012, 13, 19syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2120necon3bbid 2860 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
2218, 21mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
2322necomd 2878 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
24 pire 24255 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → π ∈ ℝ)
2616simprd 478 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
2715, 25, 26leltned 10228 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ((ℑ‘(log‘𝑥)) < π ↔ π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥))))
2823, 27mpbird 247 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
2924renegcli 10380 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
3029rexri 10135 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ*
3124rexri 10135 . . . . . . 7 π ∈ ℝ*
32 elioo2 12254 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
3330, 31, 32mp2an 708 . . . . . 6 ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
3415, 17, 28, 33syl3anbrc 1265 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))
35 imf 13897 . . . . . 6 ℑ:ℂ⟶ℝ
36 ffn 6083 . . . . . 6 (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
37 elpreima 6377 . . . . . 6 (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))))
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . 5 ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π)))
3914, 34, 38sylanbrc 699 . . . 4 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
4010, 39mprgbir 2956 . . 3 (log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π))
41 df-ioo 12217 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
42 df-ioc 12218 . . . . . . . . . 10 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
43 idd 24 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-π < 𝑤 → -π < 𝑤))
44 xrltle 12020 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
4541, 42, 43, 44ixxssixx 12227 . . . . . . . . 9 (-π(,)π) ⊆ (-π(,]π)
46 imass2 5536 . . . . . . . . 9 ((-π(,)π) ⊆ (-π(,]π) → (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (ℑ “ (-π(,]π)))
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (ℑ “ (-π(,]π))
48 logrn 24350 . . . . . . . 8 ran log = (ℑ “ (-π(,]π))
4947, 48sseqtr4i 3671 . . . . . . 7 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ ran log
5049sseli 3632 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
51 logef 24373 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
5250, 51syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
53 elpreima 6377 . . . . . . . . . 10 (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
5435, 36, 53mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
55 efcl 14857 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5655adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5754, 56sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5854simplbi 475 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5958imcld 13979 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
6054simprbi 479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))
61 eliooord 12271 . . . . . . . . . . . 12 ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
6362simprd 478 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
6459, 63ltned 10211 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≠ π)
6552adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
6665fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = (ℑ‘𝑥))
67 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
68 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -∞ ∈ ℝ*
69 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
70 elioc2 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0)))
7168, 69, 70mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
7267, 71sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
7372simp1d 1093 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
7473renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → -(exp‘𝑥) ∈ ℝ)
75 efne0 14871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7658, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7877necomd 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≠ (exp‘𝑥))
79 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
8072simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≤ 0)
8173, 79, 80leltned 10228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) < 0 ↔ 0 ≠ (exp‘𝑥)))
8278, 81mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) < 0)
8373lt0neg1d 10635 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) < 0 ↔ 0 < -(exp‘𝑥)))
8482, 83mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < -(exp‘𝑥))
8574, 84elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
86 lognegb 24381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8757, 76, 86syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8985, 88mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π)
9066, 89eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘𝑥) = π)
9190ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) → (ℑ‘𝑥) = π))
9291necon3ad 2836 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) ≠ π → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)))
9364, 92mpd 15 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
9457, 93eldifd 3618 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
9594, 4syl6eleqr 2741 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
96 funfvima2 6533 . . . . . . 7 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
973, 8, 96mp2an 708 . . . . . 6 ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
9895, 97syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
9952, 98eqeltrrd 2731 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
10099ssriv 3640 . . 3 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
10140, 100eqssi 3652 . 2 (log “ 𝐷) = (ℑ “ (-π(,)π))
102 imcncf 22753 . . . 4 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
103 ssid 3657 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
104 ax-resscn 10031 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
105 eqid 2651 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
106105cnfldtop 22634 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
107105cnfldtopon 22633 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
108107toponunii 20769 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
109108restid 16141 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
110106, 109ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
111110eqcomi 2660 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
112105tgioo2 22653 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
113105, 111, 112cncfcn 22759 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))))
114103, 104, 113mp2an 708 . . . 4 (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
115102, 114eleqtri 2728 . . 3 ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
116 iooretop 22616 . . 3 (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
117 cnima 21117 . . 3 ((ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
118115, 116, 117mp2an 708 . 2 (ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
119101, 118eqeltri 2726 1 (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305  +crp 11870  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  cim 13882  expce 14836  πcpi 14841  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  Topctop 20746   Cn ccn 21076  cnccncf 22726  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348
This theorem is referenced by:  dvlog  24442
  Copyright terms: Public domain W3C validator