MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlog2lem 24379
Description: Lemma for dvlog2 24380. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
dvlog2lem 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlog2.s . . . . 5 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
2 cnxmet 22557 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 ax-1cn 9979 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
4 1re 10024 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
54rexri 10082 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
6 blssm 22204 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
72, 3, 5, 6mp3an 1422 . . . . 5 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
81, 7eqsstri 3627 . . . 4 𝑆 ⊆ ℂ
98sseli 3591 . . 3 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℂ)
10 1m0e1 11116 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
11 mnfxr 10081 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
12 0re 10025 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
13 iocssre 12238 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
1411, 12, 13mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,]0) ⊆ ℝ
1514sseli 3591 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
1612a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ∈ ℝ)
174a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ)
18 elioc2 12221 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ 0)))
1911, 12, 18mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ 0))
2019simp3bi 1076 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 0)
2115, 16, 17, 20lesub2dd 10629 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 − 0) ≤ (1 − 𝑥))
2210, 21syl5eqbrr 4680 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1 − 𝑥))
23 ax-resscn 9978 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
2414, 23sstri 3604 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,]0) ⊆ ℂ
2524sseli 3591 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℂ)
26 eqid 2620 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2726cnmetdval 22555 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
283, 25, 27sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
29 0le1 10536 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ≤ 1)
3115, 16, 17, 20, 30letrd 10179 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 1)
3215, 17, 31abssubge0d 14151 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs‘(1 − 𝑥)) = (1 − 𝑥))
3328, 32eqtrd 2654 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (1 − 𝑥))
3422, 33breqtrrd 4672 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥))
35 cnmet 22556 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ))
373a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℂ)
38 metcl 22118 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
3936, 37, 25, 38syl3anc 1324 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
40 lenlt 10101 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ) → (1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥) ↔ ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
414, 39, 40sylancr 694 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥) ↔ ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4234, 41mpbid 222 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1)
432a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
445a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ*)
45 elbl2 22176 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4643, 44, 37, 25, 45syl22anc 1325 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4742, 46mtbird 315 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ 𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
4847con2i 134 . . . 4 (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
4948, 1eleq2s 2717 . . 3 (𝑥𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
509, 49eldifd 3578 . 2 (𝑥𝑆𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
5150ssriv 3599 1 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  cdif 3564  wss 3567   class class class wbr 4644  ccom 5108  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922  -∞cmnf 10057  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  (,]cioc 12161  abscabs 13955  ∞Metcxmt 19712  Metcme 19713  ballcbl 19714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-xadd 11932  df-ioc 12165  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722
This theorem is referenced by:  dvlog2  24380  logtayl  24387  logtayl2  24389  efrlim  24677  lgamcvg2  24762
  Copyright terms: Public domain W3C validator