MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlog2 24444
Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at 1, a sometimes easier region to work with than the ℂ ∖ (-∞, 0] of dvlog 24442. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
dvlog2 (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvlog2
StepHypRef Expression
1 ssid 3657 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
2 logf1o 24356 . . . . . . 7 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
3 f1of 6175 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
5 logrncn 24354 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ran log → 𝑥 ∈ ℂ)
65ssriv 3640 . . . . . 6 ran log ⊆ ℂ
7 fss 6094 . . . . . 6 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ ran log ⊆ ℂ) → log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
84, 6, 7mp2an 708 . . . . 5 log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
9 eqid 2651 . . . . . 6 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
109logdmss 24433 . . . . 5 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})
11 fssres 6108 . . . . 5 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
128, 10, 11mp2an 708 . . . 4 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ
13 difss 3770 . . . 4 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
14 dvlog2.s . . . . 5 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
15 cnxmet 22623 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16 ax-1cn 10032 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
17 1rp 11874 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
18 rpxr 11878 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
20 blssm 22270 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
2115, 16, 19, 20mp3an 1464 . . . . 5 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
2214, 21eqsstri 3668 . . . 4 𝑆 ⊆ ℂ
23 eqid 2651 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2423cnfldtop 22634 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
2523cnfldtopon 22633 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2625toponunii 20769 . . . . . . . 8 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2726restid 16141 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
2824, 27ax-mp 5 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
2928eqcomi 2660 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
3023, 29dvres 23720 . . . 4 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ) ∧ ((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ)) → (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)))
311, 12, 13, 22, 30mp4an 709 . . 3 (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆))
3214dvlog2lem 24443 . . . . 5 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
33 resabs1 5462 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆))
3432, 33ax-mp 5 . . . 4 ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆)
3534oveq2i 6701 . . 3 (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = (ℂ D (log ↾ 𝑆))
369dvlog 24442 . . . 4 (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥))
3723cnfldtopn 22632 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3837blopn 22352 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
3915, 16, 19, 38mp3an 1464 . . . . . 6 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
4014, 39eqeltri 2726 . . . . 5 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
41 isopn3i 20934 . . . . 5 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆)
4224, 40, 41mp2an 708 . . . 4 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆
4336, 42reseq12i 5426 . . 3 ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
4431, 35, 433eqtr3i 2681 . 2 (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
45 resmpt 5484 . . 3 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥)))
4632, 45ax-mp 5 . 2 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
4744, 46eqtri 2673 1 (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210  cmpt 4762  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975  -∞cmnf 10110  *cxr 10111  cmin 10304   / cdiv 10722  +crp 11870  (,]cioc 12214  abscabs 14018  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  fldccnfld 19794  Topctop 20746  intcnt 20869   D cdv 23672  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348
This theorem is referenced by:  logtayl  24451  efrlim  24741
  Copyright terms: Public domain W3C validator