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Theorem dvlipcn 23802
Description: A complex function with derivative bounded by 𝑀 on an open ball is Lipschitz continuous with Lipschitz constant equal to 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlipcn.x (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
dvlipcn.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvlipcn.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvlipcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
dvlipcn.b 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
dvlipcn.d (𝜑𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
dvlipcn.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvlipcn.l ((𝜑𝑥𝐵) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvlipcn ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem dvlipcn
Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1elunit 12329 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
2 0elunit 12328 . . 3 0 ∈ (0[,]1)
3 0red 10079 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
4 1red 10093 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
5 dvlipcn.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
6 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
8 dvlipcn.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
9 dvlipcn.x . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
107, 8, 9dvbss 23710 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
115, 10sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝑋)
1211, 9sstrd 3646 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
14 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
1513, 14sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌 ∈ ℂ)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
17 unitssre 12357 . . . . . . . . . . 11 (0[,]1) ⊆ ℝ
18 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
1917, 18sstri 3645 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℂ
20 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
2119, 20sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
2216, 21mulcomd 10099 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑌 · 𝑡) = (𝑡 · 𝑌))
23 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
2413, 23sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍 ∈ ℂ)
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑍 ∈ ℂ)
26 iirev 22775 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
2726adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
2819, 27sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
2925, 28mulcomd 10099 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑍 · (1 − 𝑡)) = ((1 − 𝑡) · 𝑍))
3022, 29oveq12d 6708 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) = ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑍)))
31 dvlipcn.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3231ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
33 dvlipcn.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3433ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3514adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑌𝐵)
3623adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑍𝐵)
37 dvlipcn.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
3837blcvx 22648 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑍)) ∈ 𝐵)
3932, 34, 35, 36, 20, 38syl23anc 1373 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑍)) ∈ 𝐵)
4030, 39eqeltrd 2730 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝐵)
41 eqidd 2652 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
428, 11fssresd 6109 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
4342feqmptd 6288 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑧)))
44 fvres 6245 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4544mpteq2ia 4773 . . . . . . . 8 (𝑧𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧))
4643, 45syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧)))
4746adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧)))
48 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑧 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
4940, 41, 47, 48fmptco 6436 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))
50 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))
5140, 50fmptd 6425 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))):(0[,]1)⟶𝐵)
52 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5352addcn 22715 . . . . . . . . . 10 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5453a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
55 cncfmptc 22761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑌) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
5619, 6, 55mp3an23 1456 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑌) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
5715, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑌) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
58 cncfmptid 22762 . . . . . . . . . . . 12 (((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
5919, 6, 58mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6157, 60mulcncf 23261 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑌 · 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
62 cncfmptc 22761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑍) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6319, 6, 62mp3an23 1456 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑍) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6424, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑍) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6552subcn 22716 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
67 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
68 cncfmptc 22761 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6967, 19, 6, 68mp3an 1464 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
7152, 66, 70, 60cncfmpt2f 22764 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
7264, 71mulcncf 23261 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
7352, 54, 61, 72cncfmpt2f 22764 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
74 cncffvrn 22748 . . . . . . . 8 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn𝐵) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))):(0[,]1)⟶𝐵))
7513, 73, 74syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn𝐵) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))):(0[,]1)⟶𝐵))
7651, 75mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn𝐵))
776a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ℂ ⊆ ℂ)
7842adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
7952cnfldtop 22634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
8052cnfldtopon 22633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
8180toponunii 20769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
8281restid 16141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
8379, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
8483eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
8552, 84dvres 23720 . . . . . . . . . . . 12 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
867, 8, 9, 12, 85syl22anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
87 cnxmet 22623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
8952cnfldtopn 22632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
9089blopn 22352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
9188, 31, 33, 90syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
9237, 91syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
93 isopn3i 20934 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) = 𝐵)
9479, 92, 93sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) = 𝐵)
9594reseq2d 5428 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
9686, 95eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
9796dmeqd 5358 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
98 dmres 5454 . . . . . . . . . 10 dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom (ℂ D 𝐹))
99 df-ss 3621 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹) ↔ (𝐵 ∩ dom (ℂ D 𝐹)) = 𝐵)
1005, 99sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∩ dom (ℂ D 𝐹)) = 𝐵)
10198, 100syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = 𝐵)
10297, 101eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
103102adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
104 dvcn 23729 . . . . . . 7 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
10577, 78, 13, 103, 104syl31anc 1369 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
10676, 105cncfco 22757 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
10749, 106eqeltrrd 2731 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
10818a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ℝ ⊆ ℂ)
10917a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (0[,]1) ⊆ ℝ)
1108ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
11111ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐵𝑋)
112111, 40sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝑋)
113110, 112ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ℂ)
11452tgioo2 22653 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
115 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
116 iccntr 22671 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
1173, 115, 116sylancl 695 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
118108, 109, 113, 114, 52, 117dvmptntr 23779 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))))
119 reelprrecn 10066 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
120119a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
121 cnelprrecn 10067 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
122121a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
123 ioossicc 12297 . . . . . . . . . 10 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
124123sseli 3632 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
125124, 40sylan2 490 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝐵)
12615, 24subcld 10430 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌𝑍) ∈ ℂ)
127126adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑌𝑍) ∈ ℂ)
12811adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐵𝑋)
129128sselda 3636 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝑋)
1308adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
131130ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
132129, 131syldan 486 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
133 fvexd 6241 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧𝐵) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑧) ∈ V)
13415adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
135124, 21sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
136134, 135mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑌 · 𝑡) ∈ ℂ)
137 1red 10093 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
138 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
139138recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
140 1red 10093 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
141120dvmptid 23765 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
142 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)1) ⊆ ℝ
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (0(,)1) ⊆ ℝ)
144 iooretop 22616 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)))
146120, 139, 140, 141, 143, 114, 52, 145dvmptres 23771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 1))
147120, 135, 137, 146, 15dvmptcmul 23772 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 1)))
14815mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 · 1) = 𝑌)
149148mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 1)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑌))
150147, 149eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑌))
15124adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑍 ∈ ℂ)
152124, 28sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
153151, 152mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑍 · (1 − 𝑡)) ∈ ℂ)
154 negex 10317 . . . . . . . . . . 11 -𝑍 ∈ V
155154a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -𝑍 ∈ V)
156 negex 10317 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ V
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -1 ∈ V)
158 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
159 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
160 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
161 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
162 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
163120, 162dvmptc 23766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
164120, 160, 161, 163, 143, 114, 52, 145dvmptres 23771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 1)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 0))
165120, 158, 159, 164, 135, 137, 146dvmptsub 23775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (1 − 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (0 − 1)))
166 df-neg 10307 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 = (0 − 1)
167166mpteq2i 4774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -1) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (0 − 1))
168165, 167syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (1 − 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -1))
169120, 152, 157, 168, 24dvmptcmul 23772 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · -1)))
170 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
171 mulcom 10060 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑍 · -1) = (-1 · 𝑍))
17224, 170, 171sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 · -1) = (-1 · 𝑍))
17324mulm1d 10520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (-1 · 𝑍) = -𝑍)
174172, 173eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 · -1) = -𝑍)
175174mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · -1)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -𝑍))
176169, 175eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -𝑍))
177120, 136, 134, 150, 153, 155, 176dvmptadd 23768 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 + -𝑍)))
17815, 24negsubd 10436 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 + -𝑍) = (𝑌𝑍))
179178mpteq2dv 4778 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 + -𝑍)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌𝑍)))
180177, 179eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌𝑍)))
1819adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
18277, 130, 181, 13, 85syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
18394adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) = 𝐵)
184183reseq2d 5428 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
185182, 184eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
18647oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (ℂ D (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧))))
187 dvfcn 23717 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ D (𝐹𝐵)):dom (ℂ D (𝐹𝐵))⟶ℂ
188103feq2d 6069 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D (𝐹𝐵)):dom (ℂ D (𝐹𝐵))⟶ℂ ↔ (ℂ D (𝐹𝐵)):𝐵⟶ℂ))
189187, 188mpbii 223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝐹𝐵)):𝐵⟶ℂ)
190185feq1d 6068 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D (𝐹𝐵)):𝐵⟶ℂ ↔ ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ))
191189, 190mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
192191feqmptd 6288 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑧)))
193 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐵 → (((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑧) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑧))
194193mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐵 ↦ (((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑧))
195192, 194syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑧)))
196185, 186, 1953eqtr3d 2693 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧))) = (𝑧𝐵 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑧)))
197 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
198120, 122, 125, 127, 132, 133, 180, 196, 48, 197dvmptco 23780 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))))
199118, 198eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))))
200199dmeqd 5358 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))))
201 ovex 6718 . . . . . . 7 (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)) ∈ V
202201rgenw 2953 . . . . . 6 𝑡 ∈ (0(,)1)(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)) ∈ V
203 dmmptg 5670 . . . . . 6 (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)) ∈ V → dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))) = (0(,)1))
204202, 203mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))) = (0(,)1))
205200, 204eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (0(,)1))
206 dvlipcn.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
207206adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑀 ∈ ℝ)
208126abscld 14219 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘(𝑌𝑍)) ∈ ℝ)
209207, 208remulcld 10108 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) ∈ ℝ)
210199fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))‘𝑡))
211 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))
212211fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ (0(,)1) ∧ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)) ∈ V) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))‘𝑡) = (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))
213201, 212mpan2 707 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0(,)1) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))‘𝑡) = (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))
214210, 213sylan9eq 2705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡) = (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))
215214fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) = (abs‘(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))))
216 dvfcn 23717 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2175ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
218217, 125sseldd 3637 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ dom (ℂ D 𝐹))
219 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ∧ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ℂ)
220216, 218, 219sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ℂ)
221220, 127absmuld 14237 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))) = ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) · (abs‘(𝑌𝑍))))
222215, 221eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) = ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) · (abs‘(𝑌𝑍))))
223220abscld 14219 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ∈ ℝ)
224206ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
225127abscld 14219 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝑌𝑍)) ∈ ℝ)
226127absge0d 14227 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘(𝑌𝑍)))
227 dvlipcn.l . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐵) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
228227ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
229 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑦))
230229fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)))
231230breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀))
232231cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ ∀𝑦𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀)
233228, 232sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀)
234233ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ∀𝑦𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀)
235 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
236235fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))
237236breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ≤ 𝑀))
238237rspcv 3336 . . . . . . . . . 10 (((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝐵 → (∀𝑦𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀 → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ≤ 𝑀))
239125, 234, 238sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ≤ 𝑀)
240223, 224, 225, 226, 239lemul1ad 11001 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) · (abs‘(𝑌𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
241222, 240eqbrtrd 4707 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
242241ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
243 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑧(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))
244 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑡abs
245 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑡
246 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑡 D
247 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . 11 𝑡(𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
248245, 246, 247nfov 6716 . . . . . . . . . 10 𝑡(ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))
249 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑧
250248, 249nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑡((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)
251244, 250nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑡(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧))
252 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑡
253 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑡(𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))
254251, 252, 253nfbr 4732 . . . . . . 7 𝑡(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))
255 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑧 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡) = ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧))
256255fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑧 → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)))
257256breq1d 4695 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑧 → ((abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) ↔ (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
258243, 254, 257cbvral 3197 . . . . . 6 (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) ↔ ∀𝑧 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
259242, 258sylib 208 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
260259r19.21bi 2961 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
2613, 4, 107, 205, 209, 260dvlip 23801 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (1 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0))) ≤ ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · (abs‘(1 − 0))))
2621, 2, 261mpanr12 721 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0))) ≤ ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · (abs‘(1 − 0))))
263 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → (𝑌 · 𝑡) = (𝑌 · 1))
264 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
265 1m1e0 11127 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
266264, 265syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = 0)
267266oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → (𝑍 · (1 − 𝑡)) = (𝑍 · 0))
268263, 267oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑡 = 1 → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) = ((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)))
269268fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑡 = 1 → (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))))
270 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
271 fvex 6239 . . . . . . 7 (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))) ∈ V
272269, 270, 271fvmpt 6321 . . . . . 6 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) = (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))))
2731, 272ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) = (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)))
27424mul01d 10273 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 · 0) = 0)
275148, 274oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)) = (𝑌 + 0))
27615addid1d 10274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 + 0) = 𝑌)
277275, 276eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)) = 𝑌)
278277fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))) = (𝐹𝑌))
279273, 278syl5eq 2697 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) = (𝐹𝑌))
280 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (𝑌 · 𝑡) = (𝑌 · 0))
281 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
282 1m0e1 11169 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
283281, 282syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
284283oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (𝑍 · (1 − 𝑡)) = (𝑍 · 1))
285280, 284oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑡 = 0 → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) = ((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)))
286285fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑡 = 0 → (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))))
287 fvex 6239 . . . . . . 7 (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))) ∈ V
288286, 270, 287fvmpt 6321 . . . . . 6 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0) = (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))))
2892, 288ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0) = (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)))
29015mul01d 10273 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 · 0) = 0)
29124mulid1d 10095 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 · 1) = 𝑍)
292290, 291oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)) = (0 + 𝑍))
29324addid2d 10275 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (0 + 𝑍) = 𝑍)
294292, 293eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)) = 𝑍)
295294fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))) = (𝐹𝑍))
296289, 295syl5eq 2697 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0) = (𝐹𝑍))
297279, 296oveq12d 6708 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0)) = ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍)))
298297fveq2d 6233 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0))) = (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))))
299282fveq2i 6232 . . . . 5 (abs‘(1 − 0)) = (abs‘1)
300 abs1 14081 . . . . 5 (abs‘1) = 1
301299, 300eqtri 2673 . . . 4 (abs‘(1 − 0)) = 1
302301oveq2i 6701 . . 3 ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · (abs‘(1 − 0))) = ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · 1)
303209recnd 10106 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) ∈ ℂ)
304303mulid1d 10095 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · 1) = (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
305302, 304syl5eq 2697 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · (abs‘(1 − 0))) = (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
306262, 298, 3053brtr3d 4716 1 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  abscabs 14018  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  fldccnfld 19794  Topctop 20746  intcnt 20869   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411  cnccncf 22726   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  dvlip2  23803  dv11cn  23809
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