Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlip2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlip2 23803
 Description: Combine the results of dvlip 23801 and dvlipcn 23802 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlip2.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvlip2.j 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
dvlip2.x (𝜑𝑋𝑆)
dvlip2.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvlip2.a (𝜑𝐴𝑆)
dvlip2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
dvlip2.b 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
dvlip2.d (𝜑𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
dvlip2.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvlip2.l ((𝜑𝑥𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvlip2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem dvlip2
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlip2.j . . . . . . . 8 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
2 cnxmet 22623 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 dvlip2.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4 recnprss 23713 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 xmetres2 22213 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
72, 5, 6sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
81, 7syl5eqel 2734 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
98ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
10 dvlip2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
1110ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴𝑆)
12 simplrr 818 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍𝐵)
13 dvlip2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
1412, 13syl6eleq 2740 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
15 dvlip2.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
1615ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17 elbl 22240 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
189, 11, 16, 17syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
1914, 18mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅))
2019simpld 474 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍𝑆)
21 xmetcl 22183 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑍𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*)
229, 11, 20, 21syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*)
23 simplrl 817 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌𝐵)
2423, 13syl6eleq 2740 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
25 elbl 22240 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
269, 11, 16, 25syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
2724, 26mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅))
2827simpld 474 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌𝑆)
29 xmetcl 22183 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑌𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ*)
309, 11, 28, 29syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ*)
3122, 30ifcld 4164 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ*)
3219simprd 478 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)
3327simprd 478 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)
34 breq1 4688 . . . . . 6 ((𝐴𝐽𝑍) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
35 breq1 4688 . . . . . 6 ((𝐴𝐽𝑌) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
3634, 35ifboth 4157 . . . . 5 (((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
3732, 33, 36syl2anc 694 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
38 qbtwnxr 12069 . . . 4 ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅))
3931, 16, 37, 38syl3anc 1366 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅))
40 qre 11831 . . . . 5 (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
4130adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ*)
4222adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*)
43 rexr 10123 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
4443adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℝ*)
45 xrmaxlt 12050 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
4641, 42, 44, 45syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
47 ioossicc 12297 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))
48 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
4928, 48eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
5049ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ℝ)
51 xmetsym 22199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑌𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
529, 11, 28, 51syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
5348sqxpeqd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
5453reseq2d 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
551, 54syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5655oveqd 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌𝐽𝐴) = (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
5711, 48eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
58 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
5958remetdval 22639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌𝐴)))
6049, 57, 59syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌𝐴)))
6152, 56, 603eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌𝐴)))
6261ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌𝐴)))
63 simprll 819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑟)
6462, 63eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑌𝐴)) < 𝑟)
6557ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ)
66 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ)
6750, 65, 66absdifltd 14216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑌𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝑟) < 𝑌𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
6864, 67mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟) < 𝑌𝑌 < (𝐴 + 𝑟)))
6968simpld 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝑟) < 𝑌)
7068simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))
7165, 66resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ)
7271rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ*)
7365, 66readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ)
7473rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ*)
75 elioo2 12254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) < 𝑌𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
7672, 74, 75syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) < 𝑌𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
7750, 69, 70, 76mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
7847, 77sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
79 fvres 6245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) = (𝐹𝑌))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) = (𝐹𝑌))
8120, 48eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ ℝ)
8281ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ℝ)
83 xmetsym 22199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑍𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
849, 11, 20, 83syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
8555oveqd 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍𝐽𝐴) = (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
8658remetdval 22639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍𝐴)))
8781, 57, 86syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍𝐴)))
8884, 85, 873eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍𝐴)))
8988ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍𝐴)))
90 simprlr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)
9189, 90eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑍𝐴)) < 𝑟)
9282, 65, 66absdifltd 14216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑍𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝑟) < 𝑍𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
9391, 92mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟) < 𝑍𝑍 < (𝐴 + 𝑟)))
9493simpld 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝑟) < 𝑍)
9593simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))
96 elioo2 12254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) < 𝑍𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
9772, 74, 96syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) < 𝑍𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
9882, 94, 95, 97mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
9947, 98sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
100 fvres 6245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍) = (𝐹𝑍))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍) = (𝐹𝑍))
10280, 101oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍)) = ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍)))
103102fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) = (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))))
1049ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
105 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
10671, 73, 105syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
107106biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟)))
108107simp1d 1093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10948ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑆 = ℝ)
110108, 109eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥𝑆)
11111ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴𝑆)
112 xmetcl 22183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑥𝑆𝐴𝑆) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ*)
113104, 110, 111, 112syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ*)
11466adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ)
115114rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
11616ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
11755ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
118117oveqd 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
11965adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℝ)
12058remetdval 22639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥𝐴)))
121108, 119, 120syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥𝐴)))
122118, 121eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (abs‘(𝑥𝐴)))
123107simp2d 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝐴𝑟) ≤ 𝑥)
124107simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))
125108, 119, 114absdifled 14217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → ((abs‘(𝑥𝐴)) ≤ 𝑟 ↔ ((𝐴𝑟) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
126123, 124, 125mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(𝑥𝐴)) ≤ 𝑟)
127122, 126eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ≤ 𝑟)
128 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 < 𝑅)
129113, 115, 116, 127, 128xrlelttrd 12029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅)
130 elbl3 22244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝑥𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
131104, 116, 111, 110, 130syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
132129, 131mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
133132ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)))
134133ssrdv 3642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
135134, 13syl6sseqr 3685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
136135resabs1d 5463 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))
137 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ℝ ⊆ ℂ)
139 dvlip2.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
140139ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
141 dvlip2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
142 dvlip2.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋𝑆)
1435, 139, 142dvbss 23710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
144141, 143sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵𝑋)
145144ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵𝑋)
146140, 145fssresd 6109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
147 blssm 22270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
1489, 11, 16, 147syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
14913, 148syl5eqss 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵𝑆)
150149, 48sseqtrd 3674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
151150ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
152137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
153139ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
154142ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋𝑆)
155154, 48sseqtrd 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
156 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
157156tgioo2 22653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
158156, 157dvres 23720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
159152, 153, 155, 150, 158syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
160 retop 22612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
16155fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ball‘𝐽) = (ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
162161oveqd 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
16313, 162syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
16455, 9eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆))
165 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
16658, 165tgioo 22646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
167166blopn 22352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
168164, 11, 16, 167syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
169163, 168eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,)))
170 isopn3i 20934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
171160, 169, 170sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
172171reseq2d 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
173159, 172eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
174173dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹𝐵)) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
175 dmres 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹))
176141ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
17748oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℝ D 𝐹))
178177dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℝ D 𝐹))
179176, 178sseqtrd 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
180 df-ss 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
181179, 180sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
182175, 181syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = 𝐵)
183174, 182eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
184183ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
185 dvcn 23729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝐹𝐵)) = 𝐵) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
186138, 146, 151, 184, 185syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
187 rescncf 22747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ) → ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ)))
188135, 186, 187sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
189136, 188eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
190135, 151sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)
191156, 157dvres 23720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
192138, 146, 151, 190, 191syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
193136oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
194 iccntr 22671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
19571, 73, 194syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
196195reseq2d 5428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
197192, 193, 1963eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
198197dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = dom ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
199 dmres 5454 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = (((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹𝐵)))
20047, 135syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
201200, 184sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹𝐵)))
202 df-ss 3621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹𝐵)) ↔ (((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹𝐵))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
203201, 202sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹𝐵))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
204199, 203syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
205198, 204eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
206 dvlip2.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
207206ad4antr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑀 ∈ ℝ)
208197fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = (((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥))
209 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) → (((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹𝐵))‘𝑥))
210208, 209sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹𝐵))‘𝑥))
211177reseq1d 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
212173, 211eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
213212fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D (𝐹𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
214213ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
215200sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → 𝑥𝐵)
216 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐵 → (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
217215, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
218210, 214, 2173eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
219218fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) = (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
220 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝜑)
221 dvlip2.l . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
222220, 221sylan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
223215, 222syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
224219, 223eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) ≤ 𝑀)
22571, 73, 189, 205, 207, 224dvlip 23801 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ (𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
226225ex 449 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
22778, 99, 226mp2and 715 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
228103, 227eqbrtrrd 4709 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
229228exp32 630 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))))
23046, 229sylbid 230 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))))
231230impd 446 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
23240, 231sylan2 490 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
233232rexlimdva 3060 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
23439, 233mpd 15 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
235 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
236235sqxpeqd 5175 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
237236reseq2d 5428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
238 absf 14121 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:ℂ⟶ℝ
239 subf 10321 . . . . . . . . . . . . . 14 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
240 fco 6096 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
241238, 239, 240mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
242 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
243 fnresdm 6038 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
244241, 242, 243mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
245237, 244syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = (abs ∘ − ))
2461, 245syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐽 = (abs ∘ − ))
247246fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (ball‘𝐽) = (ball‘(abs ∘ − )))
248247oveqd 6707 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
24913, 248syl5eq 2697 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
250249eleq2d 2716 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑌𝐵𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
251249eleq2d 2716 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑍𝐵𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
252250, 251anbi12d 747 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((𝑌𝐵𝑍𝐵) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))))
253252biimpa 500 . . . 4 (((𝜑𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
254142adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑋𝑆)
255254, 235sseqtrd 3674 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
256139adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
25710adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐴𝑆)
258257, 235eleqtrd 2732 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
25915adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
260 eqid 2651 . . . . 5 (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
261141adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
262235oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℂ D 𝐹))
263262dmeqd 5358 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℂ D 𝐹))
264261, 249, 2633sstr3d 3680 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
265206adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑀 ∈ ℝ)
266221ex 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
267266adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑥𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
268249eleq2d 2716 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
269262fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))
270269fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
271270breq1d 4695 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
272267, 268, 2713imtr3d 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
273272imp 444 . . . . 5 (((𝜑𝑆 = ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
274255, 256, 258, 259, 260, 264, 265, 273dvlipcn 23802 . . . 4 (((𝜑𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
275253, 274syldan 486 . . 3 (((𝜑𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
276275an32s 863 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
277 elpri 4230 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
2783, 277syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
279278adantr 480 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
280234, 276, 279mpjaodan 844 1 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ifcif 4119  {cpr 4212   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145   ∘ ccom 5147   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973   + caddc 9977   · cmul 9979  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℚcq 11826  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  abscabs 14018  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784  ℂfldccnfld 19794  Topctop 20746  intcnt 20869  –cn→ccncf 22726   D cdv 23672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676 This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  24199  dvconstbi  38850
 Copyright terms: Public domain W3C validator