MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlem 23879
Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlem.1 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3 (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
dvlem ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dvlem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4462 . 2 (𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴𝐷𝐴𝐵))
2 dvlem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
32adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
4 simprl 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐴𝐷)
53, 4ffvelrnd 6524 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
6 dvlem.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
76adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐵𝐷)
83, 7ffvelrnd 6524 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
95, 8subcld 10604 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → ((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
10 dvlem.2 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
1110adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
1211, 4sseldd 3745 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1311, 7sseldd 3745 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1412, 13subcld 10604 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
15 simprr 813 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
1612, 13, 15subne0d 10613 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵) ≠ 0)
179, 14, 16divcld 11013 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
181, 17sylan2b 493 1 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cmin 10478   / cdiv 10896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897
This theorem is referenced by:  perfdvf  23886  dvreslem  23892  dvcnp  23901  dvcnp2  23902  dvaddbr  23920  dvmulbr  23921  dvcobr  23928  dvcjbr  23931  dvcnvlem  23958  dvferm1  23967  dvferm2  23969  ftc1lem6  24023  ulmdvlem3  24375  unbdqndv1  32826  ftc1cnnc  33815  fperdvper  40654
  Copyright terms: Public domain W3C validator