Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvle 23967
 Description: If 𝐴(𝑥), 𝐶(𝑥) are differentiable functions and 𝐴‘ ≤ 𝐶‘, then for 𝑥 ≤ 𝑦, 𝐴(𝑦) − 𝐴(𝑥) ≤ 𝐶(𝑦) − 𝐶(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvle.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvle.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
dvle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvle.c (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.d (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
dvle.f ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝐷)
dvle.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.l (𝜑𝑋𝑌)
dvle.p (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑃)
dvle.q (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝑄)
dvle.r (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑅)
dvle.s (𝑥 = 𝑌𝐶 = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvle (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvle
StepHypRef Expression
1 dvle.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁))
2 dvle.a . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
3 cncff 22895 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
5 eqid 2758 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
65fmpt 6542 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
74, 6sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
8 dvle.r . . . . 5 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑅)
98eleq1d 2822 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
109rspcv 3443 . . 3 (𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ))
111, 7, 10sylc 65 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
12 dvle.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
13 cncff 22895 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
15 eqid 2758 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶)
1615fmpt 6542 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1714, 16sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ)
18 dvle.s . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌𝐶 = 𝑆)
1918eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
2019rspcv 3443 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ → 𝑆 ∈ ℝ))
211, 17, 20sylc 65 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
22 dvle.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
23 dvle.q . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝑄)
2423eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑄 ∈ ℝ))
2524rspcv 3443 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ → 𝑄 ∈ ℝ))
2622, 17, 25sylc 65 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
2721, 26resubcld 10648 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑄) ∈ ℝ)
28 dvle.p . . . . 5 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑃)
2928eleq1d 2822 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑃 ∈ ℝ))
3029rspcv 3443 . . 3 (𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℝ))
3122, 7, 30sylc 65 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
3211recnd 10258 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
3326recnd 10258 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
3421recnd 10258 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3533, 34subcld 10582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑆) ∈ ℂ)
3632, 35addcomd 10428 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 + (𝑄𝑆)) = ((𝑄𝑆) + 𝑅))
3732, 34, 33subsub2d 10611 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) = (𝑅 + (𝑄𝑆)))
3833, 34, 32subsubd 10610 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 − (𝑆𝑅)) = ((𝑄𝑆) + 𝑅))
3936, 37, 383eqtr4d 2802 . . 3 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) = (𝑄 − (𝑆𝑅)))
4021, 11resubcld 10648 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑅) ∈ ℝ)
41 dvle.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
42 dvle.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
43 eqid 2758 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4443subcn 22868 . . . . . . 7 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
45 ax-resscn 10183 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
46 resubcl 10535 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
4743, 44, 12, 2, 45, 46cncfmpt2ss 22917 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
48 ioossicc 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
4948sseli 3738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
5017r19.21bi 3068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5149, 50sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
52 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)
5351, 52fmptd 6546 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
54 ioossre 12426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
55 dvfre 23911 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ)
5653, 54, 55sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ)
57 dvle.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
5857dmeqd 5479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
59 dvle.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝐷)
60 lerel 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Rel ≤
6160brrelex2i 5314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝐷𝐷 ∈ V)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐷 ∈ V)
6362ralrimiva 3102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V)
64 dmmptg 5791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
6658, 65eqtrd 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑀(,)𝑁))
6757, 66feq12d 6192 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
6856, 67mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
69 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷)
7069fmpt 6542 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
7168, 70sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ ℝ)
7271r19.21bi 3068 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐷 ∈ ℝ)
737r19.21bi 3068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7449, 73sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
75 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)
7674, 75fmptd 6546 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
77 dvfre 23911 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
7876, 54, 77sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
79 dvle.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
8079dmeqd 5479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
8160brrelexi 5313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝐷𝐵 ∈ V)
8259, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
8382ralrimiva 3102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ V)
84 dmmptg 5791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
8680, 85eqtrd 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
8779, 86feq12d 6192 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
8878, 87mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
89 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵)
9089fmpt 6542 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
9188, 90sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ)
9291r19.21bi 3068 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9372, 92resubcld 10648 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝐷𝐵) ∈ ℝ)
9472, 92subge0d 10807 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (0 ≤ (𝐷𝐵) ↔ 𝐵𝐷))
9559, 94mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 0 ≤ (𝐷𝐵))
96 elrege0 12469 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷𝐵)))
9793, 95, 96sylanbrc 701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝐷𝐵) ∈ (0[,)+∞))
98 eqid 2758 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵))
9997, 98fmptd 6546 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)):(𝑀(,)𝑁)⟶(0[,)+∞))
10045a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
101 iccssre 12446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
10241, 42, 101syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
10350, 73resubcld 10648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
104103recnd 10258 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
10543tgioo2 22805 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
106 iccntr 22823 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
10741, 42, 106syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
108100, 102, 104, 105, 43, 107dvmptntr 23931 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐶𝐴))))
109 reelprrecn 10218 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
110109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
11150recnd 10258 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11249, 111sylan2 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11373recnd 10258 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11449, 113sylan2 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
115110, 112, 62, 57, 114, 82, 79dvmptsub 23927 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)))
116108, 115eqtrd 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)))
117116feq1d 6189 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))):(𝑀(,)𝑁)⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)):(𝑀(,)𝑁)⟶(0[,)+∞)))
11899, 117mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))):(𝑀(,)𝑁)⟶(0[,)+∞))
119 dvle.l . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑌)
12041, 42, 47, 118, 22, 1, 119dvge0 23966 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) ≤ ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌))
12123, 28oveq12d 6829 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶𝐴) = (𝑄𝑃))
122 eqid 2758 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))
123 ovex 6839 . . . . . . 7 (𝐶𝐴) ∈ V
124121, 122, 123fvmpt3i 6447 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) = (𝑄𝑃))
12522, 124syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) = (𝑄𝑃))
12618, 8oveq12d 6829 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐶𝐴) = (𝑆𝑅))
127126, 122, 123fvmpt3i 6447 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌) = (𝑆𝑅))
1281, 127syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌) = (𝑆𝑅))
129120, 125, 1283brtr3d 4833 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑃) ≤ (𝑆𝑅))
13026, 31, 40, 129subled 10820 . . 3 (𝜑 → (𝑄 − (𝑆𝑅)) ≤ 𝑃)
13139, 130eqbrtrd 4824 . 2 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) ≤ 𝑃)
13211, 27, 31, 131subled 10820 1 (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  ∀wral 3048  Vcvv 3338   ⊆ wss 3713  {cpr 4321   class class class wbr 4802   ↦ cmpt 4879  dom cdm 5264  ran crn 5265  ⟶wf 6043  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ℂcc 10124  ℝcr 10125  0cc0 10126   + caddc 10129  +∞cpnf 10261   ≤ cle 10265   − cmin 10456  (,)cioo 12366  [,)cico 12368  [,]cicc 12369  TopOpenctopn 16282  topGenctg 16298  ℂfldccnfld 19946  intcnt 21021  –cn→ccncf 22878   D cdv 23824 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-lp 21140  df-perf 21141  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-haus 21319  df-cmp 21390  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-cncf 22880  df-limc 23827  df-dv 23828 This theorem is referenced by:  dvfsumle  23981  dvfsumlem2  23987  loglesqrt  24696
 Copyright terms: Public domain W3C validator