MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvivthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvivthlem1 23990
Description: Lemma for dvivth 23992. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvivth.2 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvivth.3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
dvivth.4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvivth.5 (𝜑𝑀 < 𝑁)
dvivth.6 (𝜑𝐶 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
dvivth.7 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
dvivthlem1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem dvivthlem1
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 12439 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2 dvivth.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31, 2sseldi 3748 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4 dvivth.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
51, 4sseldi 3748 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
6 dvivth.5 . . . . 5 (𝜑𝑀 < 𝑁)
73, 5, 6ltled 10386 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
8 dvivth.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
9 cncff 22915 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1110ffvelrnda 6502 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
12 dvfre 23933 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
1310, 1, 12sylancl 566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
14 dvivth.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
154, 14eleqtrrd 2852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
1613, 15ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
172, 14eleqtrrd 2852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
1813, 17ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
19 iccssre 12459 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)) ⊆ ℝ)
2016, 18, 19syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)) ⊆ ℝ)
21 dvivth.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
2220, 21sseldd 3751 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2322adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
2524sselda 3750 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2623, 25remulcld 10271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ)
2711, 26resubcld 10659 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦)) ∈ ℝ)
28 dvivth.7 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦)))
2927, 28fmptd 6527 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
30 iccssioo2 12450 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
312, 4, 30syl2anc 565 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3229, 31fssresd 6211 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
33 ax-resscn 10194 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
35 fss 6196 . . . . . . . . 9 ((𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3629, 33, 35sylancl 566 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3728oveq2i 6803 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦))))
38 reelprrecn 10229 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
4011recnd 10269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4114feq2d 6171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
4213, 41mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4342ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
4410feqmptd 6391 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦)))
4544oveq2d 6808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦))))
4642feqmptd 6391 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
4745, 46eqtr3d 2806 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
4826recnd 10269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℂ)
49 remulcl 10222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ)
5022, 49sylan 561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ)
5150recnd 10269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℂ)
5222adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5334sselda 3750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
54 1cnd 10257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
5539dvmptid 23939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5622recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5739, 53, 54, 55, 56dvmptcmul 23946 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · 1)))
5856mulid1d 10258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 · 1) = 𝐶)
5958mpteq2dv 4877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐶))
6057, 59eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐶))
61 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6261tgioo2 22825 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
63 iooretop 22788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
6539, 51, 52, 60, 24, 62, 61, 64dvmptres 23945 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐶 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))
6639, 40, 43, 47, 48, 23, 65dvmptsub 23949 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)))
6737, 66syl5eq 2816 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)))
6867dmeqd 5464 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = dom (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)))
69 dmmptg 5776 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶) ∈ V → dom (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)) = (𝐴(,)𝐵))
70 ovex 6822 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶) ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶) ∈ V)
7269, 71mprg 3074 . . . . . . . . 9 dom (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)) = (𝐴(,)𝐵)
7368, 72syl6eq 2820 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
74 dvcn 23903 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
7534, 36, 24, 73, 74syl31anc 1478 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
76 rescncf 22919 . . . . . . 7 ((𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ)))
7731, 75, 76sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
78 cncffvrn 22920 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ)) → ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ))
7933, 77, 78sylancr 567 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ))
8032, 79mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
813, 5, 7, 80evthicc 23446 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧)))
8281simpld 476 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥))
83 fvres 6348 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) = (𝐺𝑧))
84 fvres 6348 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8583, 84breqan12rd 4801 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ↔ (𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
8685ralbidva 3133 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
8786adantl 467 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
88 ioossicc 12463 . . . . . 6 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
89 ssralv 3813 . . . . . 6 ((𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))
9187, 90syl6bi 243 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
9231sselda 3750 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9342ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
9492, 93syldan 571 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
9594recnd 10269 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
9695adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
9756ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ∈ ℂ)
9867fveq1d 6334 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))‘𝑥))
9998adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))‘𝑥))
100 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
101100oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
102 eqid 2770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))
103 ovex 6822 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) ∈ V
104101, 102, 103fvmpt 6424 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
10592, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
10699, 105eqtrd 2804 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
107106adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
10829ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1091a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
110 simprl 746 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁))
11188, 31syl5ss 3761 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
112111ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
11392adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
11473ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
115113, 114eleqtrrd 2852 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
116 simprr 748 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))
117 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑤))
118117breq1d 4794 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) ↔ (𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥)))
119118cbvralv 3319 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
120116, 119sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
121108, 109, 110, 112, 115, 120dvferm 23970 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = 0)
122107, 121eqtr3d 2806 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) = 0)
12396, 97, 122subeq0d 10601 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
124123exp32 407 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
125 vex 3352 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
126125elpr 4336 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑥 = 𝑀𝑥 = 𝑁))
127106adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
12829ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
130 simprl 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 = 𝑀)
131 eliooord 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑀𝑀 < 𝐵))
1322, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 < 𝑀𝑀 < 𝐵))
133132simpld 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 < 𝑀)
134 ne0i 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
135 ndmioo 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
136135necon1ai 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
1372, 134, 1363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
138137simpld 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1395rexrd 10290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
140 elioo2 12420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑀𝑀 < 𝑁)))
141138, 139, 140syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑀𝑀 < 𝑁)))
1423, 133, 6, 141mpbir3and 1426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝑁))
143142ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝑁))
144130, 143eqeltrd 2849 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝑁))
145137simprd 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
146 eliooord 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑁𝑁 < 𝐵))
1474, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 < 𝑁𝑁 < 𝐵))
148147simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 < 𝐵)
149 xrltle 12186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑁 < 𝐵𝑁𝐵))
150139, 145, 149syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 < 𝐵𝑁𝐵))
151148, 150mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁𝐵)
152 iooss2 12415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑁𝐵) → (𝐴(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
153145, 151, 152syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
154153ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝐴(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
15592adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
15673ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
157155, 156eleqtrrd 2852 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
158 simprr 748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))
159158, 119sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
160130oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝑥(,)𝑁) = (𝑀(,)𝑁))
161160raleqdv 3292 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (∀𝑤 ∈ (𝑥(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥)))
162159, 161mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑥(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
163128, 129, 144, 154, 157, 162dvferm1 23967 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) ≤ 0)
164127, 163eqbrtrrd 4808 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) ≤ 0)
16594adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
16622ad2antrr 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
167165, 166suble0d 10819 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) ≤ 0 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶))
168164, 167mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶)
169 elicc2 12442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))))
17016, 18, 169syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))))
17121, 170mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
172171simp3d 1137 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
173172ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
174130fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
175173, 174breqtrrd 4812 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
176165, 166letri3d 10380 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶 ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
177168, 175, 176mpbir2and 684 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
178177exp32 407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
179 simprl 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 = 𝑁)
180179fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
181171simp2d 1136 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶)
182181ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶)
183180, 182eqbrtrd 4806 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶)
18429ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1851a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
1863rexrd 10290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
187 elioo2 12420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑁 ∈ (𝑀(,)𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 < 𝑁𝑁 < 𝐵)))
188186, 145, 187syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀(,)𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 < 𝑁𝑁 < 𝐵)))
1895, 6, 148, 188mpbir3and 1426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀(,)𝐵))
190189ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑁 ∈ (𝑀(,)𝐵))
191179, 190eqeltrd 2849 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝐵))
192 xrltle 12186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑀𝐴𝑀))
193138, 186, 192syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 < 𝑀𝐴𝑀))
194133, 193mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑀)
195 iooss1 12414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑀) → (𝑀(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
196138, 194, 195syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
197196ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝑀(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
19892adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
19973ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
200198, 199eleqtrrd 2852 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
201 simprr 748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))
202201, 119sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
203179oveq2d 6808 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝑀(,)𝑥) = (𝑀(,)𝑁))
204203raleqdv 3292 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑥)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥)))
205202, 204mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑥)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
206184, 185, 191, 197, 200, 205dvferm2 23969 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 0 ≤ ((ℝ D 𝐺)‘𝑥))
207106adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
208206, 207breqtrd 4810 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 0 ≤ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
20994adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
21022ad2antrr 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
211209, 210subge0d 10818 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (0 ≤ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) ↔ 𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
212208, 211mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
213209, 210letri3d 10380 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶 ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
214183, 212, 213mpbir2and 684 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
215214exp32 407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 = 𝑁 → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
216178, 215jaod 839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝑥 = 𝑀𝑥 = 𝑁) → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
217126, 216syl5bi 232 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁} → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
218 elun 3902 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝑀(,)𝑁) ∪ {𝑀, 𝑁}) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∨ 𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁}))
219 prunioo 12507 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → ((𝑀(,)𝑁) ∪ {𝑀, 𝑁}) = (𝑀[,]𝑁))
220186, 139, 7, 219syl3anc 1475 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀(,)𝑁) ∪ {𝑀, 𝑁}) = (𝑀[,]𝑁))
221220eleq2d 2835 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀(,)𝑁) ∪ {𝑀, 𝑁}) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
222218, 221syl5bbr 274 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∨ 𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁}) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
223222biimpar 463 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∨ 𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁}))
224124, 217, 223mpjaod 840 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶))
22591, 224syld 47 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶))
226225reximdva 3164 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) → ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶))
22782, 226mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  wrex 3061  Vcvv 3349  cun 3719  wss 3721  c0 4061  {cpr 4316   class class class wbr 4784  cmpt 4861  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   · cmul 10142  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467  (,)cioo 12379  [,]cicc 12382  TopOpenctopn 16289  topGenctg 16305  fldccnfld 19960  cnccncf 22898   D cdv 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-cmp 21410  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  dvivthlem2  23991
  Copyright terms: Public domain W3C validator