Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhlvec 36919
Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvhlvec (𝜑𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 dvhlvec.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 eqid 2771 . . 3 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2771 . . 3 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 dvhlvec.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2771 . . 3 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8 eqid 2771 . . 3 (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9 eqid 2771 . . 3 (+g𝑈) = (+g𝑈)
10 eqid 2771 . . 3 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11 eqid 2771 . . 3 (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12 eqid 2771 . . 3 (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13 eqid 2771 . . 3 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 36918 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
151, 14syl 17 1 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308  invgcminusg 17631  LVecclvec 19315  HLchlt 35159  LHypclh 35793  LTrncltrn 35910  TEndoctendo 36562  DVecHcdvh 36888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-undef 7555  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lvec 19316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35307  df-lplanes 35308  df-lvols 35309  df-lines 35310  df-psubsp 35312  df-pmap 35313  df-padd 35605  df-lhyp 35797  df-laut 35798  df-ldil 35913  df-ltrn 35914  df-trl 35969  df-tendo 36565  df-edring 36567  df-dvech 36889
This theorem is referenced by:  dvhlmod  36920  dih1dimatlem  37139  dihlspsnssN  37142  dihlspsnat  37143  dihpN  37146  dihlatat  37147  dochsat  37193  dochshpncl  37194  dochlkr  37195  dochkrshp  37196  dochkrshp3  37198  dvh2dimatN  37250  dvh3dim3N  37259  dochsatshp  37261  dochsatshpb  37262  dochexmidat  37269  dochexmidlem3  37272  dochsnkr  37282  dochsnkr2  37283  dochflcl  37285  dochfl1  37286  dochkr1  37288  dochkr1OLDN  37289  lcfl6lem  37308  lcfl7lem  37309  lcfl9a  37315  lclkrlem1  37316  lclkrlem2a  37317  lclkrlem2e  37321  lclkrlem2g  37323  lclkrlem2h  37324  lclkrlem2o  37331  lclkrlem2p  37332  lclkrlem2q  37333  lclkrlem2s  37335  lclkrlem2v  37338  lclkrslem1  37347  lcfrvalsnN  37351  lcfrlem16  37368  lcfrlem20  37372  lcfrlem25  37377  lcfrlem29  37381  lcfrlem31  37383  lcfrlem33  37385  lcfrlem35  37387  lcdlvec  37401  lcdlkreqN  37432  lcdlkreq2N  37433  mapdordlem2  37447  mapdsn3  37453  mapdrvallem2  37455  mapdcnvatN  37476  mapdat  37477  mapdpglem10  37491  mapdpglem15  37496  mapdpglem17N  37498  mapdpglem18  37499  mapdpglem19  37500  mapdpglem21  37502  mapdpglem22  37503  mapdheq4lem  37541  mapdheq4  37542  mapdh6lem1N  37543  mapdh6lem2N  37544  mapdh6aN  37545  mapdh6b0N  37546  mapdh6bN  37547  mapdh6cN  37548  mapdh6dN  37549  mapdh6eN  37550  mapdh6fN  37551  mapdh6hN  37553  mapdh7eN  37558  mapdh7dN  37560  mapdh7fN  37561  mapdh75fN  37565  mapdh8aa  37586  mapdh8ab  37587  mapdh8ad  37589  mapdh8b  37590  mapdh8c  37591  mapdh8d0N  37592  mapdh8d  37593  mapdh8e  37594  mapdh9a  37599  mapdh9aOLDN  37600  hdmap1eq4N  37616  hdmap1l6lem1  37617  hdmap1l6lem2  37618  hdmap1l6a  37619  hdmap1l6b0N  37620  hdmap1l6b  37621  hdmap1l6c  37622  hdmap1l6d  37623  hdmap1l6e  37624  hdmap1l6f  37625  hdmap1l6h  37627  hdmap1eulemOLDN  37633  hdmapval0  37643  hdmapval3lemN  37647  hdmap10lem  37649  hdmap11lem1  37651  hdmap11lem2  37652  hdmaprnlem4N  37663  hdmaprnlem3eN  37668  hdmap14lem1a  37676  hdmap14lem4a  37681  hdmap14lem11  37688  hgmap11  37712  hdmaplkr  37723  hdmapip1  37726  hgmapvvlem1  37733  hgmapvvlem2  37734  hgmapvvlem3  37735  hlhillvec  37761
  Copyright terms: Public domain W3C validator