Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh3dim3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh3dim3N 37238
 Description: There is a vector that is outside of 2 spans. TODO: decide to use either this or dvh3dim2 37237 everywhere. If this one is needed, make dvh3dim2 37237 into a lemma. (Contributed by NM, 21-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dvh3dim.x (𝜑𝑋𝑉)
dvh3dim.y (𝜑𝑌𝑉)
dvh3dim2.z (𝜑𝑍𝑉)
dvh3dim3.t (𝜑𝑇𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh3dim3N (𝜑 → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh3dim3N
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2 dvh3dim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3 dvh3dim.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dvh3dim.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dvh3dim.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 36899 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
76adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
8 dvh3dim.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 dvh3dim2.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
10 dvh3dim3.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇𝑉)
118, 1, 2, 6, 9, 10lspprcl 19178 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1211adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
148, 2, 6, 9, 10lspprid2 19198 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
1514adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
161, 2, 7, 12, 13, 15lspprss 19192 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
17 sspss 3846 . . . 4 ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ↔ ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ∨ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
1816, 17sylib 208 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ∨ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
193, 4, 5dvhlvec 36898 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2019adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
21 dvh3dim.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
228, 1, 2, 6, 21, 10lspprcl 19178 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2322adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
249adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑍𝑉)
2510adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑇𝑉)
26 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
278, 1, 2, 20, 23, 24, 25, 26lspprat 19353 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑤𝑉 (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤}))
2853ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 simp2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤𝑉)
30 dvh3dim.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
31303ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑋𝑉)
3293ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑍𝑉)
333, 4, 8, 2, 28, 29, 31, 32dvh3dim2 37237 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})))
3463ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑈 ∈ LMod)
351lsssssubg 19158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
378, 1, 2lspsncl 19177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
386, 30, 37syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
39383ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4036, 39sseldd 3743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
418, 1, 2lspsncl 19177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉) → (𝑁‘{𝑤}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4234, 29, 41syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4336, 42sseldd 3743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
44 prssi 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑌𝑉𝑇𝑉) → {𝑌, 𝑇} ⊆ 𝑉)
4521, 10, 44syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑌, 𝑇} ⊆ 𝑉)
46 snsspr1 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑌} ⊆ {𝑌, 𝑇}
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑌} ⊆ {𝑌, 𝑇})
488, 2lspss 19184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑌, 𝑇} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ {𝑌, 𝑇}) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
496, 45, 47, 48syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
50493ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
51 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤}))
5250, 51sseqtrd 3780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑤}))
53 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
5453lsmless2 18273 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑤})) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
5540, 43, 52, 54syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
568, 2, 53, 6, 30, 21lsmpr 19289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
57563ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
58 prcom 4409 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑤, 𝑋} = {𝑋, 𝑤}
5958fveq2i 6353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘{𝑤, 𝑋}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑤})
608, 2, 53, 34, 31, 29lsmpr 19289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑤}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
6159, 60syl5eq 2804 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤, 𝑋}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
6255, 57, 613sstr4d 3787 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑤, 𝑋}))
6362ssneld 3744 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑋}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
648, 1, 2lspsncl 19177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
656, 9, 64syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
66653ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6736, 66sseldd 3743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
68 snsspr2 4489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑇} ⊆ {𝑌, 𝑇}
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑇} ⊆ {𝑌, 𝑇})
708, 2lspss 19184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑌, 𝑇} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑇} ⊆ {𝑌, 𝑇}) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
716, 45, 69, 70syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
72713ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
7372, 51sseqtrd 3780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑤}))
7453lsmless2 18273 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑤})) → ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑇})) ⊆ ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
7567, 43, 73, 74syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑇})) ⊆ ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
768, 2, 53, 6, 9, 10lsmpr 19289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑇})))
77763ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑇})))
78 prcom 4409 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑤, 𝑍} = {𝑍, 𝑤}
7978fveq2i 6353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘{𝑤, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑤})
808, 2, 53, 34, 32, 29lsmpr 19289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑍, 𝑤}) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
8179, 80syl5eq 2804 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤, 𝑍}) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
8275, 77, 813sstr4d 3787 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
8382ssneld 3744 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
8463, 83anim12d 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
8584reximdv 3152 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
8633, 85mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
8786rexlimdv3a 3169 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤}) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
8887adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (∃𝑤𝑉 (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤}) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
8927, 88mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
903, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 37237 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})))
9190adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})))
92 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
93 prcom 4409 . . . . . . . . . . . 12 {𝑌, 𝑋} = {𝑋, 𝑌}
9493fveq2i 6353 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌})
9594eleq2i 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
9695notbii 309 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
9796a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
98 eleq2 2826 . . . . . . . . 9 ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
9998notbid 307 . . . . . . . 8 ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
10097, 99anbi12d 749 . . . . . . 7 ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) ↔ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
10192, 100syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) ↔ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
102101rexbidv 3188 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) ↔ ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
10391, 102mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
10489, 103jaodan 861 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ∨ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
10518, 104syldan 488 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
1063, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 37237 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑤𝑉𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})))
107106adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑤𝑉𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})))
108 simpl1l 1279 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝜑)
109108, 6syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
110 simpl2 1230 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑤𝑉)
111108, 21syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌𝑉)
112 eqid 2758 . . . . . . . 8 (+g𝑈) = (+g𝑈)
1138, 112lmodvacl 19077 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
114109, 110, 111, 113syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
1158, 1, 2, 6, 30, 21lspprcl 19178 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
116108, 115syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1178, 2, 6, 30, 21lspprid2 19198 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
118108, 117syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
119 simpl3l 1287 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
12094eleq2i 2829 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
121119, 120sylnib 317 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1228, 112, 1, 109, 116, 118, 110, 121lssvancl2 19146 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
123108, 11syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
124 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
125 simpl1r 1281 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
1268, 112, 1, 109, 123, 124, 111, 125lssvancl1 19145 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
127 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
128127notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
129 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ↔ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
130129notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ↔ ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
131128, 130anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ↔ (¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
132131rspcev 3447 . . . . . 6 (((𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
133114, 122, 126, 132syl12anc 1475 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
134 simpl2 1230 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑤𝑉)
135 simpl3l 1287 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
136135, 120sylnib 317 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
137 simpr 479 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
138 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
139138notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
140 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
141140notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
142139, 141anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ↔ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
143142rspcev 3447 . . . . . 6 ((𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
144134, 136, 137, 143syl12anc 1475 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
145133, 144pm2.61dan 867 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
146145rexlimdv3a 3169 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (∃𝑤𝑉𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
147107, 146mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
148105, 147pm2.61dan 867 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  ∃wrex 3049   ⊆ wss 3713   ⊊ wpss 3714  {csn 4319  {cpr 4321  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  Basecbs 16057  +gcplusg 16141  SubGrpcsubg 17787  LSSumclsm 18247  LModclmod 19063  LSubSpclss 19132  LSpanclspn 19171  LVecclvec 19302  HLchlt 35138  LHypclh 35771  DVecHcdvh 36867 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-riotaBAD 34740 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-tpos 7519  df-undef 7566  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-0g 16302  df-preset 17127  df-poset 17145  df-plt 17157  df-lub 17173  df-glb 17174  df-join 17175  df-meet 17176  df-p0 17238  df-p1 17239  df-lat 17245  df-clat 17307  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-subg 17790  df-cntz 17948  df-lsm 18249  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-invr 18870  df-dvr 18881  df-drng 18949  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-lsp 19172  df-lvec 19303  df-lsatoms 34764  df-oposet 34964  df-ol 34966  df-oml 34967  df-covers 35054  df-ats 35055  df-atl 35086  df-cvlat 35110  df-hlat 35139  df-llines 35285  df-lplanes 35286  df-lvols 35287  df-lines 35288  df-psubsp 35290  df-pmap 35291  df-padd 35583  df-lhyp 35775  df-laut 35776  df-ldil 35891  df-ltrn 35892  df-trl 35947  df-tgrp 36531  df-tendo 36543  df-edring 36545  df-dveca 36791  df-disoa 36818  df-dvech 36868  df-dib 36928  df-dic 36962  df-dih 37018  df-doch 37137  df-djh 37184 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator