Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvgrat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvgrat 38828
 Description: Ratio test for divergence of a complex infinite series. See e.g. remark "if (abs‘((𝑎‘(𝑛 + 1)) / (𝑎‘𝑛))) ≥ 1 for all large n..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgrat.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvgrat.w 𝑊 = (ℤ𝑁)
dvgrat.n (𝜑𝑁𝑍)
dvgrat.f (𝜑𝐹𝑉)
dvgrat.c ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
dvgrat.n0 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
dvgrat.le ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
Assertion
Ref Expression
dvgrat (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉   𝑘,𝑍

Proof of Theorem dvgrat
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvgrat.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝑍)
2 dvgrat.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2syl6eleq 2740 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzelz 11735 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6 uzid 11740 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
7 dvgrat.w . . . . . . . 8 𝑊 = (ℤ𝑁)
86, 7syl6eleqr 2741 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑊)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝑊)
10 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
1110eleq1d 2715 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (𝑘𝑊𝑁𝑊))
1210fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
1312fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
1413breq2d 4697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (0 < (abs‘(𝐹𝑘)) ↔ 0 < (abs‘(𝐹𝑁))))
1511, 14imbi12d 333 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → ((𝑘𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹𝑘))) ↔ (𝑁𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹𝑁)))))
16 dvgrat.n0 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
177eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
182uztrn2 11743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
1917, 18sylan2b 491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑍𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
201, 19sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
21 dvgrat.c . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2220, 21syldan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
23 absgt0 14108 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(𝐹𝑘))))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑊) → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(𝐹𝑘))))
2516, 24mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑊) → 0 < (abs‘(𝐹𝑘)))
2625ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹𝑘))))
271, 15, 26vtocld 3288 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹𝑁))))
289, 27mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (abs‘(𝐹𝑁)))
29 0red 10079 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3010eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (𝑘𝑍𝑁𝑍))
3112eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℂ))
3230, 31imbi12d 333 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → ((𝑘𝑍 → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ (𝑁𝑍 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)))
3321ex 449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 → (𝐹𝑘) ∈ ℂ))
341, 32, 33vtocld 3288 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑍 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ))
351, 34mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
3635abscld 14219 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
3729, 36ltnled 10222 . . . . 5 (𝜑 → (0 < (abs‘(𝐹𝑁)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ 0))
3828, 37mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ¬ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ 0)
395adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4036adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (abs‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
41 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → 𝐹 ⇝ 0)
42 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑁) ∈ V
437, 42eqeltri 2726 . . . . . . . . 9 𝑊 ∈ V
4443mptex 6527 . . . . . . . 8 (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) ∈ V)
4622adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
47 eqidd 2652 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) = (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))))
48 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘)
4948fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
5049fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (abs‘(𝐹𝑖)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
51 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → 𝑘𝑊)
52 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ V
5352a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ V)
5447, 50, 51, 53fvmptd 6327 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → ((𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
557, 41, 45, 39, 46, 54climabs 14378 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) ⇝ (abs‘0))
56 abs0 14069 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
5755, 56syl6breq 4726 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) ⇝ 0)
5846abscld 14219 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5954, 58eqeltrd 2730 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → ((𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖)))‘𝑘) ∈ ℝ)
60 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑁 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑁))
6160fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑁 → (abs‘(𝐹𝑖)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
6261breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑁))))
6362imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑁)))))
64 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
6564fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑖)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
6665breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))))
6766imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))))
68 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
6968fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹𝑖)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
7069breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
7170imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
7236adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
7372leidd 10632 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑁)))
7473expcom 450 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑁))))
7536ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
7622adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7776abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
787peano2uzs 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
79 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 + 1) ∈ V
80 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
8180anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑖𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
8268eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
8381, 82imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
84 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑊𝑖𝑊))
8584anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑊) ↔ (𝜑𝑖𝑊)))
86 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
8786eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
8885, 87imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)))
8988, 22chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
9079, 83, 89vtocl 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9178, 90sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9392abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
94 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
95 dvgrat.le . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
9775, 77, 93, 94, 96letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
9897ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑊) → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
9917, 98sylan2br 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
10099expcom 450 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
101100a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
10263, 67, 71, 67, 74, 101uzind4 11784 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))))
103102impcom 445 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
10417, 103sylan2b 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
105104adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
106105, 54breqtrrd 4713 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖)))‘𝑘))
1077, 39, 40, 57, 59, 106climlec2 14433 . . . 4 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ 0)
10838, 107mtand 692 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ⇝ 0)
109 eluzel2 11730 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1103, 109syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
111110adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
112 dvgrat.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
113112adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹𝑉)
114 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11521adantlr 751 . . . 4 (((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1162, 111, 113, 114, 115serf0 14455 . . 3 ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ 0)
117108, 116mtand 692 . 2 (𝜑 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
118 df-nel 2927 . 2 (seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
119117, 118sylibr 224 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∉ wnel 2926  Vcvv 3231   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  seqcseq 12841  abscabs 14018   ⇝ cli 14259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264 This theorem is referenced by:  cvgdvgrat  38829
 Copyright terms: Public domain W3C validator