MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlimge0 23992
Description: Lemma for dvfsumrlim 23993. Satisfy the assumption of dvfsumlem4 23991. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumrlim.k (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimge0 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlimge0
Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12428 . . . . . 6 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3776 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℝ
4 simprl 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥𝑆)
53, 4sseldi 3742 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
65rexrd 10281 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
75renepnfd 10282 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ≠ +∞)
8 icopnfsup 12858 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ +∞) → sup((𝑥[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
96, 7, 8syl2anc 696 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → sup((𝑥[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
10 dvfsum.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1110rexrd 10281 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
1211adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑇 ∈ ℝ*)
134, 1syl6eleq 2849 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑇(,)+∞))
14 elioopnf 12460 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑥)))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑥)))
1613, 15mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑥))
1716simprd 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑇 < 𝑥)
18 df-ioo 12372 . . . . . 6 (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤𝑤 < 𝑣)})
19 df-ico 12374 . . . . . 6 [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤 < 𝑣)})
20 xrltletr 12181 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑇 < 𝑥𝑥𝑧) → 𝑇 < 𝑧))
2118, 19, 20ixxss1 12386 . . . . 5 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑇 < 𝑥) → (𝑥[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
2212, 17, 21syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
2322, 1syl6sseqr 3793 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥[,)+∞) ⊆ 𝑆)
24 dvfsum.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
2524cbvmptv 4902 . . . 4 (𝑥𝑆𝐵) = (𝑘𝑆𝐶)
26 dvfsumrlim.k . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
2726adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
2825, 27syl5eqbrr 4840 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘𝑆𝐶) ⇝𝑟 0)
2923, 28rlimres2 14491 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↦ 𝐶) ⇝𝑟 0)
303a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑆 ⊆ ℝ)
313a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
32 dvfsum.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 dvfsum.b1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
34 dvfsum.b3 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
3531, 32, 33, 34dvmptrecl 23986 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
3635adantrr 755 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736recnd 10260 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 rlimconst 14474 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘𝑆𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
3930, 37, 38syl2anc 696 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘𝑆𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
4023, 39rlimres2 14491 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
4123sselda 3744 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝑘𝑆)
4235ralrimiva 3104 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
4342adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
4424eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
4544rspccva 3448 . . . 4 ((∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑆) → 𝐶 ∈ ℝ)
4643, 45sylan 489 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝐶 ∈ ℝ)
4741, 46syldan 488 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4836adantr 472 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 simpll 807 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝜑)
50 simplrl 819 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝑥𝑆)
51 simplrr 820 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐷𝑥)
52 elicopnf 12462 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑘)))
535, 52syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑘)))
5453simplbda 655 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝑥𝑘)
55 dvfsumrlim.l . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
5649, 50, 41, 51, 54, 55syl122anc 1486 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐶𝐵)
579, 29, 40, 47, 48, 56rlimle 14577 1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  supcsup 8511  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  +∞cpnf 10263  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  cz 11569  cuz 11879  (,)cioo 12368  [,)cico 12370  ...cfz 12519  cfl 12785  𝑟 crli 14415  Σcsu 14615   D cdv 23826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-rlim 14419  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  23993  dvfsumrlim2  23994
  Copyright terms: Public domain W3C validator