MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlim3 23987
Description: Conjoin the statements of dvfsumrlim 23985 and dvfsumrlim2 23986. (This is useful as a target for lemmas, because the hypotheses to this theorem are complex, and we don't want to repeat ourselves.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumrlim.k (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim3.1 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim3 (𝜑 → (𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐺𝑟 𝐿𝑋𝑆𝐷𝑋) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim3
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . 3 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 dvfsum.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 dvfsum.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 dvfsum.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
5 dvfsum.md . . 3 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
6 dvfsum.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7 dvfsum.a . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 dvfsum.b1 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
9 dvfsum.b2 . . 3 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 dvfsum.b3 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
11 dvfsum.c . . 3 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
12 dvfsumrlim.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dvfsumrlimf 23979 . 2 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℝ)
14 dvfsumrlim.l . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
15 dvfsumrlim.k . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12, 15dvfsumrlim 23985 . 2 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )
173adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝑀 ∈ ℤ)
184adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝐷 ∈ ℝ)
195adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
206adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝑇 ∈ ℝ)
217adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
228adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
239adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2410adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
25143adant1r 1185 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
2615adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
27 simprr 813 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝑋𝑆)
28 simprl 811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝐷𝑋)
291, 2, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 27, 28dvfsumrlim2 23986 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝐺𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
3027adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝐺𝑟 𝐿) → 𝑋𝑆)
31 nfcvd 2895 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆𝑥𝐸)
32 dvfsumrlim3.1 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝐸)
3331, 32csbiegf 3690 . . . . . . 7 (𝑋𝑆𝑋 / 𝑥𝐵 = 𝐸)
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝐺𝑟 𝐿) → 𝑋 / 𝑥𝐵 = 𝐸)
3529, 34breqtrd 4822 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝐺𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)
3635exp42 640 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝑋 → (𝑋𝑆 → (𝐺𝑟 𝐿 → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))))
3736com24 95 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑟 𝐿 → (𝑋𝑆 → (𝐷𝑋 → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))))
38373impd 1439 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑟 𝐿𝑋𝑆𝐷𝑋) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))
3913, 16, 383jca 1122 1 (𝜑 → (𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐺𝑟 𝐿𝑋𝑆𝐷𝑋) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  csb 3666   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123  +∞cpnf 10255  cle 10259  cmin 10450  cz 11561  cuz 11871  (,)cioo 12360  ...cfz 12511  cfl 12777  abscabs 14165  𝑟 crli 14407  Σcsu 14607   D cdv 23818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-cmp 21384  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822
This theorem is referenced by:  divsqrtsumlem  24897  logdivsum  25413
  Copyright terms: Public domain W3C validator