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Theorem dvfsumlem2 23835
Description: Lemma for dvfsumrlim 23839. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsum.h 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
dvfsumlem1.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem1.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem1.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem1.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem1.5 (𝜑𝑌𝑈)
dvfsumlem1.6 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem2 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12273 . . . . . . . . 9 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3668 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑆)
53, 4sseldi 3634 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
76, 1syl6eleq 2740 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
8 dvfsum.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
98rexrd 10127 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
10 elioopnf 12305 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
127, 11mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
1312simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
14 reflcl 12637 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
165, 15resubcld 10496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
1713rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
185rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
19 dvfsumlem1.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑌)
20 ubicc2 12327 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
22 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
2412simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 < 𝑋)
25 ltpnf 11992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ ℝ → 𝑌 < +∞)
265, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 < +∞)
27 iccssioo 12280 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝑇 < 𝑋𝑌 < +∞)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝑇(,)+∞))
289, 23, 24, 26, 27syl22anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝑇(,)+∞))
2928, 1syl6sseqr 3685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝑆)
3029sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦𝑆)
313a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
32 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
34 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
3531, 32, 33, 34dvmptrecl 23832 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
36 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑆𝐵) = (𝑥𝑆𝐵)
3735, 36fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵):𝑆⟶ℝ)
38 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐵
39 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
40 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
4138, 39, 40cbvmpt 4782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑆𝐵) = (𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐵)
4241fmpt 6421 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝑆 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑆𝐵):𝑆⟶ℝ)
4337, 42sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
4443r19.21bi 2961 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
4530, 44syldan 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
4645ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
47 csbeq1 3569 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
4847eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
4948rspcv 3336 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
5021, 46, 49sylc 65 . . . . . 6 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
5116, 50remulcld 10108 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
52 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑆𝐴) = (𝑥𝑆𝐴)
5332, 52fmptd 6425 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℝ)
54 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐴
55 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
56 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
5754, 55, 56cbvmpt 4782 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑆𝐴) = (𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴)
5857fmpt 6421 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑆 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℝ)
5953, 58sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
6059r19.21bi 2961 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
6130, 60syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
6261ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
63 csbeq1 3569 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
6463eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
6564rspcv 3336 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
6621, 62, 65sylc 65 . . . . 5 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
6751, 66resubcld 10496 . . . 4 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
6813, 15resubcld 10496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
69 lbicc2 12326 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
7017, 18, 19, 69syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
71 csbeq1 3569 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑋𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
7271eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7372rspcv 3336 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7470, 46, 73sylc 65 . . . . . 6 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
7568, 74remulcld 10108 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
76 csbeq1 3569 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑋 / 𝑥𝐴)
7776eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
7877rspcv 3336 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
7970, 62, 78sylc 65 . . . . 5 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
8075, 79resubcld 10496 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
81 fzfid 12812 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
82 dvfsum.b2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
8382ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
84 elfzuz 12376 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
85 dvfsum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
8684, 85syl6eleqr 2741 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
87 dvfsum.c . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
8887eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
8988rspccva 3339 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
9083, 86, 89syl2an 493 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
9181, 90fsumrecl 14509 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
9268, 50remulcld 10108 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
9392, 79resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
945, 13resubcld 10496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
9550, 94remulcld 10108 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) ∈ ℝ)
9650recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
975recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
9813recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
9996, 97, 98subdid 10524 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑌) − (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑋)))
100 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
101100mulcn 22717 . . . . . . . . . . 11 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
10228, 2syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
103 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
104102, 103syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ)
105103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
106 cncfmptc 22761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
10750, 104, 105, 106syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
108 cncfmptid 22762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
109102, 103, 108sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
110 remulcl 10059 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ)
111100, 101, 107, 109, 103, 110cncfmpt2ss 22765 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
112 reelprrecn 10066 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
114 ioossicc 12297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
115114, 102syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ)
116115sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
117116recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℂ)
118 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 1 ∈ ℂ)
119 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
120119recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
121 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
122113dvmptid 23765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
123100tgioo2 22653 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
124 iooretop 22616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)𝑌) ∈ (topGen‘ran (,))
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ (topGen‘ran (,)))
126113, 120, 121, 122, 115, 123, 100, 125dvmptres 23771 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 1))
127113, 117, 118, 126, 96dvmptcmul 23772 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑌 / 𝑥𝐵 · 1)))
12896mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · 1) = 𝑌 / 𝑥𝐵)
129128mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑌 / 𝑥𝐵 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑌 / 𝑥𝐵))
130127, 129eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑌 / 𝑥𝐵))
13129resmptd 5487 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴))
13232recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
133132, 52fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℂ)
13434dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = dom (𝑥𝑆𝐵))
13533ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵𝑉)
136 dmmptg 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝑆 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝑆𝐵) = 𝑆)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (𝑥𝑆𝐵) = 𝑆)
138134, 137eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = 𝑆)
139 dvcn 23729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = 𝑆) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn→ℂ))
140105, 133, 31, 138, 139syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn→ℂ))
141 cncffvrn 22748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn→ℂ)) → ((𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn→ℝ) ↔ (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℝ))
142103, 140, 141sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn→ℝ) ↔ (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℝ))
14353, 142mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn→ℝ))
14457, 143syl5eqelr 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴) ∈ (𝑆cn→ℝ))
145 rescncf 22747 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝑆 → ((𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴) ∈ (𝑆cn→ℝ) → ((𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
14629, 144, 145sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
147131, 146eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
14860recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
14957oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (ℝ D (𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴))
15034, 149, 413eqtr3g 2708 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐵))
151114, 29syl5ss 3647 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝑆)
152113, 148, 44, 150, 151, 123, 100, 125dvmptres 23771 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵))
153114sseli 3632 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))
154 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝜑)
1554adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌𝑆)
156 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
157156adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15813adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
159 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑦𝑦𝑌)))
16013, 5, 159syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑦𝑦𝑌)))
161160biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑦𝑦𝑌))
162161simp1d 1093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
163 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷𝑋)
164163adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷𝑋)
165161simp2d 1094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋𝑦)
166157, 158, 162, 164, 165letrd 10232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷𝑦)
167161simp3d 1095 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦𝑌)
168 dvfsumlem1.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝑈)
169168adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌𝑈)
170 simp2r 1108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑌𝑌𝑈)) → 𝑌𝑆)
171 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑌 → (𝑘𝑆𝑌𝑆))
172171anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑌 → ((𝑦𝑆𝑘𝑆) ↔ (𝑦𝑆𝑌𝑆)))
173 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑌 → (𝑦𝑘𝑦𝑌))
174 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑌 → (𝑘𝑈𝑌𝑈))
175173, 1743anbi23d 1442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑌 → ((𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈) ↔ (𝐷𝑦𝑦𝑌𝑌𝑈)))
176172, 1753anbi23d 1442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑌 → ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑌𝑌𝑈))))
177 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘 ∈ V
178177, 87csbie 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐶
179 csbeq1 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑌𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
180178, 179syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑌𝐶 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
181180breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑌 → (𝐶𝑦 / 𝑥𝐵𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵))
182176, 181imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑌 → (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑌𝑌𝑈)) → 𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵)))
183 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈))
184 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝐶
185 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥
186184, 185, 39nfbr 4732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝐶𝑦 / 𝑥𝐵
187183, 186nfim 1865 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑦 / 𝑥𝐵)
188 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑆𝑦𝑆))
189188anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑆𝑘𝑆) ↔ (𝑦𝑆𝑘𝑆)))
190 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝐷𝑥𝐷𝑦))
191 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑘𝑦𝑘))
192190, 1913anbi12d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈) ↔ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈)))
193189, 1923anbi23d 1442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈))))
19440breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶𝐵𝐶𝑦 / 𝑥𝐵))
195193, 194imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑦 / 𝑥𝐵)))
196 dvfsum.l . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
197187, 195, 196chvar 2298 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑦 / 𝑥𝐵)
198182, 197vtoclg 3297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑌𝑌𝑈)) → 𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵))
199170, 198mpcom 38 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑌𝑌𝑈)) → 𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵)
200154, 30, 155, 166, 167, 169, 199syl123anc 1383 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵)
201153, 200sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵)
202 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑋 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑦) = (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑋))
203 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑦) = (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑌))
20413, 5, 111, 130, 147, 152, 201, 70, 21, 19, 202, 76, 203, 63dvle 23815 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑌) − (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑋)) ≤ (𝑌 / 𝑥𝐴𝑋 / 𝑥𝐴))
20599, 204eqbrtrd 4707 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) ≤ (𝑌 / 𝑥𝐴𝑋 / 𝑥𝐴))
20695, 66, 79, 205lesubd 10669 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ≤ (𝑌 / 𝑥𝐴 − (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋))))
20792recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
20851recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
20966recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
210207, 208, 209subsubd 10458 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) + 𝑌 / 𝑥𝐴))
211208, 207negsubdi2d 10446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
21215recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
21397, 98, 212nnncan2d 10465 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) = (𝑌𝑋))
214213oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌𝑋) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
21516recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
21668recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
217215, 216, 96subdird 10525 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
21894recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
219218, 96mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌𝑋) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
220214, 217, 2193eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
221220negeqd 10313 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = -(𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
222211, 221eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = -(𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
223222oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) + 𝑌 / 𝑥𝐴) = (-(𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) + 𝑌 / 𝑥𝐴))
22495recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
225224, 209negsubdid 10445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = (-(𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) + 𝑌 / 𝑥𝐴))
226223, 225eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) + 𝑌 / 𝑥𝐴) = -((𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
227224, 209negsubdi2d 10446 . . . . . . . 8 (𝜑 → -((𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋))))
228210, 226, 2273eqtrd 2689 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋))))
229206, 228breqtrrd 4713 . . . . . 6 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)))
23079, 92, 67, 229lesubd 10669 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴))
231 flle 12640 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
23213, 231syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
23313, 15subge0d 10655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ↔ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋))
234232, 233mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
235200ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵)
23671breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑋 → (𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵𝑌 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵))
237236rspcv 3336 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵𝑌 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵))
23870, 235, 237sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵)
23950, 74, 68, 234, 238lemul2ad 11002 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
24092, 75, 79, 239lesub1dd 10681 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴))
24167, 93, 80, 230, 240letrd 10232 . . . 4 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴))
24267, 80, 91, 241leadd1dd 10679 . . 3 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
243 dvfsum.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
244 dvfsum.md . . . 4 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
245 dvfsum.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
246 dvfsum.h . . . 4 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
247 dvfsumlem1.6 . . . 4 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
2481, 85, 243, 156, 244, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 245, 196, 246, 6, 4, 163, 19, 168, 247dvfsumlem1 23834 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
24913leidd 10632 . . . 4 (𝜑𝑋𝑋)
25017, 18, 245, 19, 168xrletrd 12031 . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
251 fllep1 12642 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
25213, 251syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
2531, 85, 243, 156, 244, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 245, 196, 246, 6, 6, 163, 249, 250, 252dvfsumlem1 23834 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑋) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
254242, 248, 2533brtr4d 4717 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋))
25580, 74resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
25667, 50resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
257 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
25868, 257syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
259258, 74remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
260259, 79resubcld 10496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
261 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
26216, 261syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
263262, 74remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
264263, 66resubcld 10496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
265262, 50remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
266265, 66resubcld 10496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
267259recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
268263recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
269267, 268subcld 10430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵)) ∈ ℂ)
270269, 209addcomd 10276 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵)) + 𝑌 / 𝑥𝐴) = (𝑌 / 𝑥𝐴 + ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))))
271267, 268, 209subsubd 10458 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵)) + 𝑌 / 𝑥𝐴))
272209, 268, 267subsub2d 10459 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))) = (𝑌 / 𝑥𝐴 + ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))))
273270, 271, 2723eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))))
274 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
275215, 216, 274nnncan2d 10465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))))
276275, 213eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) = (𝑌𝑋))
277276oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) = ((𝑌𝑋) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
278262recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℂ)
279258recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℂ)
28074recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
281278, 279, 280subdird 10525 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵)))
282218, 280mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌𝑋) · 𝑋 / 𝑥𝐵) = (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
283277, 281, 2823eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵)) = (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
284283oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋))))
285273, 284eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋))))
28674, 94remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) ∈ ℝ)
287 cncfmptc 22761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
28874, 104, 105, 287syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
289 remulcl 10059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ)
290100, 101, 288, 109, 103, 289cncfmpt2ss 22765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
291113, 117, 118, 126, 280dvmptcmul 23772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑋 / 𝑥𝐵 · 1)))
292280mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 · 1) = 𝑋 / 𝑥𝐵)
293292mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑋 / 𝑥𝐵 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵))
294291, 293eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵))
2956adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋𝑆)
296162rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
29718adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ*)
298245adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑈 ∈ ℝ*)
299296, 297, 298, 167, 169xrletrd 12031 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦𝑈)
300 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ V
301 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑆𝑦𝑆))
302301anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑋𝑆𝑘𝑆) ↔ (𝑋𝑆𝑦𝑆)))
303 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑦 → (𝑋𝑘𝑋𝑦))
304 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑈𝑦𝑈))
305303, 3043anbi23d 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑦 → ((𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈) ↔ (𝐷𝑋𝑋𝑦𝑦𝑈)))
306302, 3053anbi23d 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑦𝑦𝑈))))
307 csbeq1 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑦𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
308178, 307syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
309308breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑦 → (𝐶𝑋 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵))
310306, 309imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑋 / 𝑥𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑦𝑦𝑈)) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵)))
311 simp2l 1107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) → 𝑋𝑆)
312 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈))
313 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑋 / 𝑥𝐵
314184, 185, 313nfbr 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 𝐶𝑋 / 𝑥𝐵
315312, 314nfim 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑋 / 𝑥𝐵)
316 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑆𝑋𝑆))
317316anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑆𝑘𝑆) ↔ (𝑋𝑆𝑘𝑆)))
318 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑋 → (𝐷𝑥𝐷𝑋))
319 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑘𝑋𝑘))
320318, 3193anbi12d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈) ↔ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)))
321317, 3203anbi23d 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈))))
322 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
323322breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶𝐵𝐶𝑋 / 𝑥𝐵))
324321, 323imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑋 / 𝑥𝐵)))
325315, 324, 196vtoclg1f 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑋 / 𝑥𝐵))
326311, 325mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑋 / 𝑥𝐵)
327300, 310, 326vtocl 3290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑦𝑦𝑈)) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵)
328154, 295, 30, 164, 165, 299, 327syl123anc 1383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵)
329153, 328sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵)
330 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑦) = (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑋))
331 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑦) = (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑌))
33213, 5, 147, 152, 290, 294, 329, 70, 21, 19, 76, 330, 63, 331dvle 23815 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐴𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑌) − (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑋)))
333280, 97, 98subdid 10524 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) = ((𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑌) − (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑋)))
334332, 333breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐴𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
33566, 79, 286, 334subled 10668 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐴 − (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐴)
336285, 335eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐴)
337259, 264, 79, 336subled 10668 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
338262renegcld 10495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
339 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3405, 15, 339lesubadd2d 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1 ↔ 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
341247, 340mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
34216, 339suble0d 10656 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0 ↔ (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1))
343341, 342mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0)
344262le0neg1d 10637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1)))
345343, 344mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1))
34650, 74, 338, 345, 238lemul2ad 11002 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
347278, 96mulneg1d 10521 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
348278, 280mulneg1d 10521 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
349346, 347, 3483brtr3d 4716 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
350263, 265lenegd 10644 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵)))
351349, 350mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
352263, 265, 66, 351lesub1dd 10681 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
353260, 264, 266, 337, 352letrd 10232 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
354216, 274, 280subdird 10525 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵)))
355280mulid2d 10096 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵) = 𝑋 / 𝑥𝐵)
356355oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
357354, 356eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
358357oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴))
359215, 274, 96subdird 10525 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
36096mulid2d 10096 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵) = 𝑌 / 𝑥𝐵)
361360oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
362359, 361eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
363362oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
364353, 358, 3633brtr3d 4716 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
36575recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
36679recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
367365, 366, 280sub32d 10462 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴))
368208, 209, 96sub32d 10462 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
369364, 367, 3683brtr4d 4717 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
370255, 256, 91, 369leadd1dd 10679 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) ≤ (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
37180recnd 10106 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
37291recnd 10106 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
373371, 372, 280addsubd 10451 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − 𝑋 / 𝑥𝐵) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
37467recnd 10106 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
375374, 372, 96addsubd 10451 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
376370, 373, 3753brtr4d 4717 . . 3 (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
377253oveq1d 6705 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
378248oveq1d 6705 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
379376, 377, 3783brtr4d 4717 . 2 (𝜑 → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
380254, 379jca 553 1 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  csb 3566  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305  cz 11415  cuz 11725  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  cfl 12631  Σcsu 14460  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  cnccncf 22726   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
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