MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumge 24004
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
dvfsumle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumle.v ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
dvfsumle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumle.c (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
dvfsumle.d (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
dvfsumle.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumge.l ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝐵𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvfsumge (𝜑 → (𝐷𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumle.m . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 df-neg 10481 . . . . . 6 -𝐴 = (0 − 𝐴)
32mpteq2i 4893 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 − 𝐴))
4 eqid 2760 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
54subcn 22890 . . . . . 6 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6 0red 10253 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7 eluzel2 11904 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98zred 11694 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
10 eluzelz 11909 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1211zred 11694 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
13 iccssre 12468 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
149, 12, 13syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
15 ax-resscn 10205 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1614, 15syl6ss 3756 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
1715a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
18 cncfmptc 22935 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
196, 16, 17, 18syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
20 dvfsumle.a . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
21 resubcl 10557 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
224, 5, 19, 20, 15, 21cncfmpt2ss 22939 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 − 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
233, 22syl5eqel 2843 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
24 negex 10491 . . . . 5 -𝐵 ∈ V
2524a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → -𝐵 ∈ V)
26 reelprrecn 10240 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
28 ioossicc 12472 . . . . . . . 8 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
2928sseli 3740 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
30 cncff 22917 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
3120, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
32 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
3332fmpt 6545 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
3431, 33sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
3534r19.21bi 3070 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3629, 35sylan2 492 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3736recnd 10280 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
38 dvfsumle.v . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
39 dvfsumle.b . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
4027, 37, 38, 39dvmptneg 23948 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐵))
41 dvfsumle.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
4241negeqd 10487 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → -𝐴 = -𝐶)
43 dvfsumle.d . . . . 5 (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
4443negeqd 10487 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → -𝐴 = -𝐷)
45 dvfsumle.x . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4645renegcld 10669 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → -𝑋 ∈ ℝ)
47 dvfsumge.l . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝐵𝑋)
489adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4948rexrd 10301 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
50 elfzole1 12692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑘)
5150adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
52 iooss1 12423 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
5349, 51, 52syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
5412adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
5554rexrd 10301 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
56 fzofzp1 12779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5756adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
58 elfzle2 12558 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
60 iooss2 12424 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
6155, 59, 60syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
6253, 61sstrd 3754 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
6362sselda 3744 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁))
6435adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6529, 64sylan2 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
66 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)
6765, 66fmptd 6549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
68 ioossre 12448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
69 dvfre 23933 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
7067, 68, 69sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
7139adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
7271dmeqd 5481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
7338adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
7473ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉)
75 dmmptg 5793 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
7772, 76eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
7871, 77feq12d 6194 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
7970, 78mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
80 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵)
8180fmpt 6545 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
8279, 81sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ)
8382r19.21bi 3070 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8463, 83syldan 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8584anasss 682 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8645adantrr 755 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
8785, 86lenegd 10818 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → (𝐵𝑋 ↔ -𝑋 ≤ -𝐵))
8847, 87mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → -𝑋 ≤ -𝐵)
891, 23, 25, 40, 42, 44, 46, 88dvfsumle 24003 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 ≤ (-𝐷 − -𝐶))
90 fzofi 12987 . . . . 5 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
9190a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
9245recnd 10280 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
9391, 92fsumneg 14738 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
9443eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐷 ∈ ℝ))
959rexrd 10301 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
9612rexrd 10301 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
97 eluzle 11912 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
981, 97syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑁)
99 ubicc2 12502 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10095, 96, 98, 99syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10194, 34, 100rspcdva 3455 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
102101recnd 10280 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
10341eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
104 lbicc2 12501 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10595, 96, 98, 104syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
106103, 34, 105rspcdva 3455 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
107106recnd 10280 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
108102, 107neg2subd 10621 . . . 4 (𝜑 → (-𝐷 − -𝐶) = (𝐶𝐷))
109102, 107negsubdi2d 10620 . . . 4 (𝜑 → -(𝐷𝐶) = (𝐶𝐷))
110108, 109eqtr4d 2797 . . 3 (𝜑 → (-𝐷 − -𝐶) = -(𝐷𝐶))
11189, 93, 1103brtr3d 4835 . 2 (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ -(𝐷𝐶))
112101, 106resubcld 10670 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
11391, 45fsumrecl 14684 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ∈ ℝ)
114112, 113lenegd 10818 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ↔ -Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ -(𝐷𝐶)))
115111, 114mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐷𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  wss 3715  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  *cxr 10285  cle 10287  cmin 10478  -cneg 10479  cz 11589  cuz 11899  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391  ...cfz 12539  ..^cfzo 12679  Σcsu 14635  TopOpenctopn 16304  fldccnfld 19968  cnccncf 22900   D cdv 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator