MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumabs 23831
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumabs.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
dvfsumabs.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
dvfsumabs.v ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
dvfsumabs.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumabs.c (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
dvfsumabs.d (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
dvfsumabs.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
dvfsumabs.y ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
dvfsumabs.l ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝑋𝐵)) ≤ 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvfsumabs (𝜑 → (abs‘(Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumabs
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12813 . . . . . 6 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 dvfsumabs.x . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
4 dvfsumabs.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 11730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 fzval2 12367 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
106, 8, 9syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
11 inss1 3866 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
1210, 11syl6eqss 3688 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
1312sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14 dvfsumabs.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
15 cncff 22743 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℂ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℂ)
17 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
1817fmpt 6421 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℂ)
1916, 18sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
20 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
2120nfel1 2808 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
22 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
2322eleq1d 2715 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
2421, 23rspc 3334 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℂ → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
2519, 24mpan9 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
2613, 25syldan 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
2726ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
28 fzofzp1 12605 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29 csbeq1 3569 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑘 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
3029eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
3130rspccva 3339 . . . . . . 7 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
3227, 28, 31syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
33 elfzofz 12524 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
34 csbeq1 3569 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑘𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑘 / 𝑥𝐴)
3534eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
3635rspccva 3339 . . . . . . 7 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
3727, 33, 36syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
3832, 37subcld 10430 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
392, 3, 38fsumsub 14564 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)))
40 vex 3234 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀𝑦 ∈ V)
42 eqeq2 2662 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑀 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑀))
4342biimpa 500 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑀)
44 dvfsumabs.c . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐶)
4641, 45csbied 3593 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶)
4740a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑁𝑦 ∈ V)
48 eqeq2 2662 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑁 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑁))
4948biimpa 500 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑁)
50 dvfsumabs.d . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐷)
5247, 51csbied 3593 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐷)
5334, 29, 46, 52, 4, 26telfsumo2 14579 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) = (𝐷𝐶))
5453oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶)))
5539, 54eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶)))
5655fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) = (abs‘(Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶))))
573, 38subcld 10430 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
582, 57fsumcl 14508 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
5958abscld 14219 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ∈ ℝ)
6057abscld 14219 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ∈ ℝ)
612, 60fsumrecl 14509 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ∈ ℝ)
62 dvfsumabs.y . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
632, 62fsumrecl 14509 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌 ∈ ℝ)
642, 57fsumabs 14577 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))))
65 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
6665adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
6766zred 11520 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
6867rexrd 10127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
69 peano2re 10247 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
7067, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
7170rexrd 10127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ*)
7267lep1d 10993 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
73 ubicc2 12327 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
7468, 71, 72, 73syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
75 lbicc2 12326 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
7668, 71, 72, 75syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
776zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
798zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
81 elfzole1 12517 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑘)
8281adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
8328adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
84 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
86 iccss 12279 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀𝑘 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
8778, 80, 82, 85, 86syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
8887resmptd 5487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))
89 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9089subcn 22716 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
9190a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
92 iccssre 12293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
9377, 79, 92syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
95 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
9694, 95syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
97 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℂ ⊆ ℂ)
99 cncfmptc 22761 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
1003, 96, 98, 99syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
101 cncfmptid 22762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑥) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
10296, 97, 101sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑥) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
103100, 102mulcncf 23261 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
10414adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
10589, 91, 103, 104cncfmpt2f 22764 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
106 rescncf 22747 . . . . . . . . . 10 ((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℂ)))
10787, 105, 106sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℂ))
10888, 107eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℂ))
10995a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
11087, 94sstrd 3646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
11187sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
1123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
11396sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
114112, 113mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑋 · 𝑥) ∈ ℂ)
11519r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
116115adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
117114, 116subcld 10430 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) ∈ ℂ)
118111, 117syldan 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1))) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) ∈ ℂ)
11989tgioo2 22653 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
120 iccntr 22671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
12167, 70, 120syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
122109, 110, 118, 119, 89, 121dvmptntr 23779 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))))
123 reelprrecn 10066 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
125 ioossicc 12297 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
126125sseli 3632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
127126, 117sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) ∈ ℂ)
128 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐵) ∈ V
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝑋𝐵) ∈ V)
130126, 114sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝑋 · 𝑥) ∈ ℂ)
1313adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
132125, 96syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ)
133132sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
134 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
135109sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
136 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
137124dvmptid 23765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
138125, 94syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ)
139 iooretop 22616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀(,)𝑁) ∈ (topGen‘ran (,))
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ∈ (topGen‘ran (,)))
141124, 135, 136, 137, 138, 119, 89, 140dvmptres 23771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 1))
142124, 133, 134, 141, 3dvmptcmul 23772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 1)))
1433mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
144143mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 1)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑋))
145142, 144eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑋))
146126, 116sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
147 dvfsumabs.v . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
148147adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
149 dvfsumabs.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
150149adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
151124, 130, 131, 145, 146, 148, 150dvmptsub 23775 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋𝐵)))
15278rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
153 iooss1 12248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
154152, 82, 153syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
15580rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
156 iooss2 12249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
157155, 85, 156syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
158154, 157sstrd 3646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
159 iooretop 22616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)))
161124, 127, 129, 151, 158, 119, 89, 160dvmptres 23771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)))
162122, 161eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)))
163162dmeqd 5358 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = dom (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)))
164 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵))
165128, 164dmmpti 6061 . . . . . . . . 9 dom (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)) = (𝑘(,)(𝑘 + 1))
166163, 165syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
167162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)))
168167fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵))‘𝑥))
169 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
170164fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∧ (𝑋𝐵) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵))‘𝑥) = (𝑋𝐵))
171169, 128, 170sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵))‘𝑥) = (𝑋𝐵))
172168, 171eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥) = (𝑋𝐵))
173172fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) = (abs‘(𝑋𝐵)))
174 dvfsumabs.l . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝑋𝐵)) ≤ 𝑌)
175174anassrs 681 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘(𝑋𝐵)) ≤ 𝑌)
176173, 175eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌)
177176ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌)
178 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑥abs
179 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥
180 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 D
181 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))
182179, 180, 181nfov 6716 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))
183 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦
184182, 183nffv 6236 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)
185178, 184nffv 6236 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦))
186 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑥
187 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌
188185, 186, 187nfbr 4732 . . . . . . . . . 10 𝑥(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌
189 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥) = ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦))
190189fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)))
191190breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌))
192188, 191rspc 3334 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌 → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌))
193177, 192mpan9 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌)
19467, 70, 108, 166, 62, 193dvlip 23801 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))) ≤ (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))))
195194ex 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))) ≤ (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘)))))
19674, 76, 195mp2and 715 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))) ≤ (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))))
197 ovex 6718 . . . . . . . . 9 ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴) ∈ V
198 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑘 + 1)
199 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑋 · (𝑘 + 1))
200 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑥
201 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑘 + 1) / 𝑥𝐴
202199, 200, 201nfov 6716 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
203 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑘 + 1)))
204 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 + 1) → 𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
205203, 204oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴))
206 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))
207198, 202, 205, 206fvmptf 6340 . . . . . . . . 9 (((𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴))
20874, 197, 207sylancl 695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴))
20967recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
2103, 209mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 𝑘) ∈ ℂ)
211210, 37subcld 10430 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
212 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑘
213 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑋 · 𝑘)
214 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑘 / 𝑥𝐴
215213, 200, 214nfov 6716 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴)
216 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑘))
217 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑥𝐴)
218216, 217oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) = ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴))
219212, 215, 218, 206fvmptf 6340 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘) = ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴))
22076, 211, 219syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘) = ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴))
221208, 220oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘)) = (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴) − ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴)))
222 peano2cn 10246 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
223209, 222syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
2243, 223mulcld 10098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
225224, 210, 32, 37sub4d 10479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴) − ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴)))
226 1cnd 10094 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
227209, 226pncan2d 10432 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
228227oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑋 · 1))
2293, 223, 209subdid 10524 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)))
230228, 229, 1433eqtr3d 2693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) = 𝑋)
231230oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)))
232221, 225, 2313eqtr2rd 2692 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘)))
233232fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) = (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))))
234227fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (abs‘1))
235 abs1 14081 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
236234, 235syl6eq 2701 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘)) = 1)
237236oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))) = (𝑌 · 1))
23862recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℂ)
239238mulid1d 10095 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑌 · 1) = 𝑌)
240237, 239eqtr2d 2686 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 = (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))))
241196, 233, 2403brtr4d 4717 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝑌)
2422, 60, 62, 241fsumle 14575 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
24359, 61, 63, 64, 242letrd 10232 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
24456, 243eqbrtrrd 4709 1 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  csb 3566  cin 3606  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111  cle 10113  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  abscabs 14018  Σcsu 14460  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  intcnt 20869   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411  cnccncf 22726   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator