MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm2lem 23968
Description: Lemma for dvferm 23970. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
dvferm2.z (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
dvferm2.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm2.l (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm2.x 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm2lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm2lem
StepHypRef Expression
1 dvferm2.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
2 mnfxr 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
4 ioossre 12448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
64, 5sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
7 dvferm2.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
87rpred 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
96, 8resubcld 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈𝑇) ∈ ℝ)
109rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑇) ∈ ℝ*)
11 ne0i 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
12 ndmioo 12415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
1312necon1ai 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
145, 11, 133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
1514simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1610, 15ifcld 4275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*)
176rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
18 mnflt 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈𝑇) ∈ ℝ → -∞ < (𝑈𝑇))
199, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -∞ < (𝑈𝑇))
20 xrmax2 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈𝑇) ∈ ℝ*) → (𝑈𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
2115, 10, 20syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
223, 10, 16, 19, 21xrltletrd 12205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
236, 7ltsubrpd 12117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑇) < 𝑈)
24 eliooord 12446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
255, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
2625simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 < 𝑈)
27 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈𝑇) = if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) → ((𝑈𝑇) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈))
28 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 = if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) → (𝐴 < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈))
2927, 28ifboth 4268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑈𝑇) < 𝑈𝐴 < 𝑈) → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)
3023, 26, 29syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)
31 xrre2 12214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)) → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
323, 16, 17, 22, 30, 31syl32anc 1485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
3332, 6readdcld 10281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) ∈ ℝ)
3433rehalfcld 11491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) ∈ ℝ)
351, 34syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
36 avglt2 11483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
3732, 6, 36syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
3830, 37mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈)
391, 38syl5eqbr 4839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 < 𝑈)
4035, 39ltned 10385 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆𝑈)
4135, 6, 39ltled 10397 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆𝑈)
4235, 6, 41abssuble0d 14390 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) = (𝑈𝑆))
43 avglt1 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
4432, 6, 43syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
4530, 44mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2))
4645, 1syl6breqr 4846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑆)
479, 32, 35, 21, 46lelttrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈𝑇) < 𝑆)
486, 8, 35, 47ltsub23d 10844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈𝑆) < 𝑇)
4942, 48eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)
5040, 49jca 555 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
51 neeq1 2994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈𝑆𝑈))
52 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈) = (𝑆𝑈))
5352fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧𝑈)) = (abs‘(𝑆𝑈)))
5453breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
5551, 54anbi12d 749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)))
56 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑆 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑆))
5756oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
5857, 52oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
5958oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6059fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
6160breq1d 4814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6255, 61imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
63 dvferm2.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6414simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6525simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 < 𝐵)
66 xrltle 12195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑈 < 𝐵𝑈𝐵))
6717, 64, 66syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑈 < 𝐵𝑈𝐵))
6865, 67mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈𝐵)
69 iooss2 12424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑈𝐵) → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
7064, 68, 69syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
71 dvferm.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
7270, 71sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ 𝑋)
7335rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
74 xrmax1 12219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈𝑇) ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
7515, 10, 74syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
7615, 16, 73, 75, 46xrlelttrd 12204 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝑆)
77 elioo2 12429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆𝑆 < 𝑈)))
7815, 17, 77syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆𝑆 < 𝑈)))
7935, 76, 39, 78mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈))
8072, 79sseldd 3745 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝑋)
81 eldifsn 4462 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑈))
8280, 40, 81sylanbrc 701 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
8362, 63, 82rspcdva 3455 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
8450, 83mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
85 dvferm.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
8685, 80ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
8771, 5sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝑋)
8885, 87ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
8986, 88resubcld 10670 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ)
9035, 6resubcld 10670 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ)
9135recnd 10280 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
926recnd 10280 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
9391, 92, 40subne0d 10613 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈) ≠ 0)
9489, 90, 93redivcld 11065 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∈ ℝ)
95 dvferm.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
96 dvfre 23933 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
9785, 95, 96syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
98 dvferm.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9997, 98ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
10099renegcld 10669 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
10194, 99, 100absdifltd 14391 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
10284, 101mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
103102simprd 482 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
10499recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
105104negidd 10594 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
106103, 105breqtrd 4830 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < 0)
10794lt0neg1d 10809 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < 0 ↔ 0 < -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
108106, 107mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → 0 < -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
10989recnd 10280 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℂ)
11090recnd 10280 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℂ)
111109, 110, 93divneg2d 11027 . . . . 5 (𝜑 → -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈)))
112108, 111breqtrd 4830 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈)))
11390renegcld 10669 . . . . 5 (𝜑 → -(𝑆𝑈) ∈ ℝ)
11435, 6posdifd 10826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 < 𝑈 ↔ 0 < (𝑈𝑆)))
11539, 114mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (𝑈𝑆))
11691, 92negsubdi2d 10620 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝑆𝑈) = (𝑈𝑆))
117115, 116breqtrrd 4832 . . . . 5 (𝜑 → 0 < -(𝑆𝑈))
118 gt0div 11101 . . . . 5 ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ ∧ -(𝑆𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < -(𝑆𝑈)) → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈))))
11989, 113, 117, 118syl3anc 1477 . . . 4 (𝜑 → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈))))
120112, 119mpbird 247 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
12188, 86posdifd 10826 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑆) ↔ 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈))))
122120, 121mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
123 fveq2 6353 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
124123breq1d 4814 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
125 dvferm2.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
126124, 125, 79rspcdva 3455 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈))
12786, 88lenltd 10395 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈) ↔ ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆)))
128126, 127mpbid 222 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
129122, 128pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  cdif 3712  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148   + caddc 10151  -∞cmnf 10284  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478  -cneg 10479   / cdiv 10896  2c2 11282  +crp 12045  (,)cioo 12388  abscabs 14193   D cdv 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-icc 12395  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-rest 16305  df-topn 16306  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  dvferm2  23969
  Copyright terms: Public domain W3C validator