Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm1lem 23946
 Description: Lemma for dvferm 23950. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
dvferm1.z (𝜑 → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
dvferm1.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm1.l (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm1.x 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm1lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm1lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2 dvferm.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
3 dvfre 23913 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
41, 2, 3syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
5 dvferm.d . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
64, 5ffvelrnd 6523 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
76recnd 10260 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
87subidd 10572 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
9 ioossre 12428 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
10 dvferm.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
119, 10sseldi 3742 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
12 eliooord 12426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
1413simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 < 𝐵)
15 dvferm1.t . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
1611, 15ltaddrpd 12098 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 < (𝑈 + 𝑇))
17 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < 𝐵𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
18 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < (𝑈 + 𝑇) ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
1917, 18ifboth 4268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 < 𝐵𝑈 < (𝑈 + 𝑇)) → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
2014, 16, 19syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
21 ne0i 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
22 ndmioo 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
2322necon1ai 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2410, 21, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2524simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2615rpred 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2711, 26readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ)
2827rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*)
2925, 28ifcld 4275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ*)
30 mnfxr 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3211rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
33 mnflt 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ ℝ → -∞ < 𝑈)
3411, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -∞ < 𝑈)
3531, 32, 25, 34, 14xrlttrd 12183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ < 𝐵)
36 mnflt 12150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
3727, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
38 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
39 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < (𝑈 + 𝑇) ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
4038, 39ifboth 4268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ < 𝐵 ∧ -∞ < (𝑈 + 𝑇)) → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
4135, 37, 40syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
42 xrmin2 12202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
4325, 28, 42syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
44 xrre 12193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
4529, 27, 41, 43, 44syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
46 avglt1 11462 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
4711, 45, 46syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
4820, 47mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2))
49 dvferm1.x . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
5048, 49syl6breqr 4846 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 < 𝑆)
5111, 50gtned 10364 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑈)
5211, 45readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) ∈ ℝ)
5352rehalfcld 11471 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) ∈ ℝ)
5449, 53syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
5511, 54, 50ltled 10377 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑆)
5611, 54, 55abssubge0d 14369 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) = (𝑆𝑈))
57 avglt2 11463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
5811, 45, 57syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
5920, 58mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
6049, 59syl5eqbr 4839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
6154, 45, 27, 60, 43ltletrd 10389 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 < (𝑈 + 𝑇))
6254, 11, 26ltsubadd2d 10817 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑆𝑈) < 𝑇𝑆 < (𝑈 + 𝑇)))
6361, 62mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈) < 𝑇)
6456, 63eqbrtrd 4826 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)
6551, 64jca 555 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
66 neeq1 2994 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈𝑆𝑈))
67 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈) = (𝑆𝑈))
6867fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧𝑈)) = (abs‘(𝑆𝑈)))
6968breq1d 4814 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
7066, 69anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)))
71 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑆))
7271oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
7372, 67oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
7473oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7574fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
7675breq1d 4814 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7770, 76imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
78 dvferm1.l . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7924simpld 477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
8013simpld 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝑈)
81 xrltle 12175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑈𝐴𝑈))
8279, 32, 81syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝐴𝑈))
8380, 82mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
84 iooss1 12403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑈) → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
8579, 83, 84syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
86 dvferm.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
8785, 86sstrd 3754 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
8854rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
89 xrmin1 12201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
9025, 28, 89syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
9188, 29, 25, 60, 90xrltletrd 12185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 < 𝐵)
92 elioo2 12409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆𝑆 < 𝐵)))
9332, 25, 92syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆𝑆 < 𝐵)))
9454, 50, 91, 93mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵))
9587, 94sseldd 3745 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑋)
96 eldifsn 4462 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑈))
9795, 51, 96sylanbrc 701 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
9877, 78, 97rspcdva 3455 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
9965, 98mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
1001, 95ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
10186, 10sseldd 3745 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑋)
1021, 101ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
103100, 102resubcld 10650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ)
10454, 11resubcld 10650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ)
10511, 54posdifd 10806 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 < 𝑆 ↔ 0 < (𝑆𝑈)))
10650, 105mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝑆𝑈))
107104, 106elrpd 12062 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ+)
108103, 107rerpdivcld 12096 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∈ ℝ)
109108, 6, 6absdifltd 14371 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
11099, 109mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
111110simpld 477 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
1128, 111eqbrtrrd 4828 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
113 gt0div 11081 . . . . 5 ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑈)) → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
114103, 104, 106, 113syl3anc 1477 . . . 4 (𝜑 → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
115112, 114mpbird 247 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
116102, 100posdifd 10806 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑆) ↔ 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈))))
117115, 116mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
118 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
119118breq1d 4814 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
120 dvferm1.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
121119, 120, 94rspcdva 3455 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈))
122100, 102lenltd 10375 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈) ↔ ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆)))
123121, 122mpbid 222 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
124117, 123pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131  -∞cmnf 10264  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458   / cdiv 10876  2c2 11262  ℝ+crp 12025  (,)cioo 12368  abscabs 14173   D cdv 23826 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-icc 12375  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830 This theorem is referenced by:  dvferm1  23947
 Copyright terms: Public domain W3C validator