MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvexp 23936
Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvexp
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6823 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑥𝑛) = (𝑥↑1))
21mpteq2dv 4898 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1)))
32oveq2d 6831 . . 3 (𝑛 = 1 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))))
4 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
5 oveq1 6822 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = (1 − 1))
65oveq2d 6831 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑(1 − 1)))
74, 6oveq12d 6833 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = (1 · (𝑥↑(1 − 1))))
87mpteq2dv 4898 . . 3 (𝑛 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))))
93, 8eqeq12d 2776 . 2 (𝑛 = 1 → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1))))))
10 oveq2 6823 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑘))
1110mpteq2dv 4898 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
1211oveq2d 6831 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))))
13 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
14 oveq1 6822 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 − 1) = (𝑘 − 1))
1514oveq2d 6831 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑(𝑘 − 1)))
1613, 15oveq12d 6833 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))
1716mpteq2dv 4898 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
1812, 17eqeq12d 2776 . 2 (𝑛 = 𝑘 → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))))
19 oveq2 6823 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
2019mpteq2dv 4898 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
2120oveq2d 6831 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))))
22 id 22 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
23 oveq1 6822 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
2423oveq2d 6831 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))
2522, 24oveq12d 6833 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))))
2625mpteq2dv 4898 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))))
2721, 26eqeq12d 2776 . 2 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))))))
28 oveq2 6823 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑁))
2928mpteq2dv 4898 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
3029oveq2d 6831 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))))
31 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁𝑛 = 𝑁)
32 oveq1 6822 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3332oveq2d 6831 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑(𝑁 − 1)))
3431, 33oveq12d 6833 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
3534mpteq2dv 4898 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
3630, 35eqeq12d 2776 . 2 (𝑛 = 𝑁 → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
37 exp1 13081 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑1) = 𝑥)
3837mpteq2ia 4893 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
39 mptresid 5615 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) = ( I ↾ ℂ)
4038, 39eqtri 2783 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1)) = ( I ↾ ℂ)
4140oveq2i 6826 . . 3 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))) = (ℂ D ( I ↾ ℂ))
42 1m1e0 11302 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
4342oveq2i 6826 . . . . . . . . 9 (𝑥↑(1 − 1)) = (𝑥↑0)
44 exp0 13079 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
4543, 44syl5eq 2807 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑(1 − 1)) = 1)
4645oveq2d 6831 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · (𝑥↑(1 − 1))) = (1 · 1))
47 1t1e1 11388 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
4846, 47syl6eq 2811 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · (𝑥↑(1 − 1))) = 1)
4948mpteq2ia 4893 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
50 fconstmpt 5321 . . . . 5 (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
5149, 50eqtr4i 2786 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))) = (ℂ × {1})
52 dvid 23901 . . . 4 (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})
5351, 52eqtr4i 2786 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))) = (ℂ D ( I ↾ ℂ))
5441, 53eqtr4i 2786 . 2 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1))))
55 nncn 11241 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
5655adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
57 ax-1cn 10207 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
58 pncan 10500 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
5956, 57, 58sylancl 697 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
6059oveq2d 6831 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑥𝑘))
6160oveq2d 6831 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑥𝑘)))
6257a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
63 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
64 nnnn0 11512 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
65 expcl 13093 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6663, 64, 65syl2anr 496 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6756, 62, 66adddird 10278 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝑥𝑘)) = ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (1 · (𝑥𝑘))))
6866mulid2d 10271 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · (𝑥𝑘)) = (𝑥𝑘))
6968oveq2d 6831 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (1 · (𝑥𝑘))) = ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘)))
7061, 67, 693eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘)))
7170mpteq2dva 4897 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘))))
72 cnex 10230 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
7372a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ℂ ∈ V)
7456, 66mulcld 10273 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
75 nnm1nn0 11547 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
76 expcl 13093 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
7763, 75, 76syl2anr 496 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
7856, 77mulcld 10273 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
79 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
80 eqidd 2762 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
8139eqcomi 2770 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
8281a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
8373, 78, 79, 80, 82offval2 7081 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥)))
8456, 77, 79mulassd 10276 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥) = (𝑘 · ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥)))
85 expm1t 13103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥𝑘) = ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥))
8685ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑘) = ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥))
8786oveq2d 6831 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · (𝑥𝑘)) = (𝑘 · ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥)))
8884, 87eqtr4d 2798 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥) = (𝑘 · (𝑥𝑘)))
8988mpteq2dva 4897 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥𝑘))))
9083, 89eqtrd 2795 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥𝑘))))
9152, 50eqtri 2783 . . . . . . . . . 10 (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
93 eqidd 2762 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
9473, 62, 66, 92, 93offval2 7081 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥𝑘))))
9568mpteq2dva 4897 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
9694, 95eqtrd 2795 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
9773, 74, 66, 90, 96offval2 7081 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘))))
9871, 97eqtr4d 2798 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
99 oveq1 6822 . . . . . . 7 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)))
10099oveq1d 6830 . . . . . 6 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
101100eqcomd 2767 . . . . 5 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))) = (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
10298, 101sylan9eq 2815 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
103 cnelprrecn 10242 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
104103a1i 11 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
105 eqid 2761 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))
10666, 105fmptd 6550 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)):ℂ⟶ℂ)
107106adantr 472 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)):ℂ⟶ℂ)
108 f1oi 6337 . . . . . 6 ( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ
109 f1of 6300 . . . . . 6 (( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
110108, 109mp1i 13 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
111 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
112111dmeqd 5482 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
113 eqid 2761 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))
11478, 113fmptd 6550 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))):ℂ⟶ℂ)
115114adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))):ℂ⟶ℂ)
116 fdm 6213 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))):ℂ⟶ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = ℂ)
117115, 116syl 17 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = ℂ)
118112, 117eqtrd 2795 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = ℂ)
119 1ex 10248 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
120119fconst 6253 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}):ℂ⟶{1}
12152feq1i 6198 . . . . . . . 8 ((ℂ D ( I ↾ ℂ)):ℂ⟶{1} ↔ (ℂ × {1}):ℂ⟶{1})
122120, 121mpbir 221 . . . . . . 7 (ℂ D ( I ↾ ℂ)):ℂ⟶{1}
123122fdmi 6214 . . . . . 6 dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = ℂ
124123a1i 11 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = ℂ)
125104, 107, 110, 118, 124dvmulf 23926 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ))) = (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
12673, 66, 79, 93, 82offval2 7081 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)))
127 expp1 13082 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = ((𝑥𝑘) · 𝑥))
12863, 64, 127syl2anr 496 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = ((𝑥𝑘) · 𝑥))
129128mpteq2dva 4897 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)))
130126, 129eqtr4d 2798 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
131130oveq2d 6831 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (ℂ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))))
132131adantr 472 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))))
133102, 125, 1323eqtr2rd 2802 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))))
134133ex 449 . 2 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))))))
1359, 18, 27, 36, 54, 134nnind 11251 1 (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  {csn 4322  {cpr 4324  cmpt 4882   I cid 5174   × cxp 5265  dom cdm 5267  cres 5269  wf 6046  1-1-ontowf1o 6049  (class class class)co 6815  𝑓 cof 7062  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154  cmin 10479  cn 11233  0cn0 11505  cexp 13075   D cdv 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-perf 21164  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-cncf 22903  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  dvexp2  23937  dvexp3  23961  taylthlem2  24348  advlogexp  24622  logdivsum  25443  log2sumbnd  25454  dvasin  33828  areacirclem1  33832  itgpowd  38321  lhe4.4ex1a  39049  dvsinexp  40647  dvxpaek  40677
  Copyright terms: Public domain W3C validator