MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dveq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dveq0 23808
Description: If a continuous function has zero derivative at all points on the interior of a closed interval, then it must be a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dveq0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dveq0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dveq0.c (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
dveq0.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
Assertion
Ref Expression
dveq0 (𝜑𝐹 = ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)}))

Proof of Theorem dveq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dveq0.c . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2 cncff 22743 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
4 ffn 6083 . . 3 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
6 fvex 6239 . . 3 (𝐹𝐴) ∈ V
7 fnconstg 6131 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ V → ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)}) Fn (𝐴[,]𝐵))
86, 7mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)}) Fn (𝐴[,]𝐵))
96fvconst2 6510 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)})‘𝑥) = (𝐹𝐴))
109adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)})‘𝑥) = (𝐹𝐴))
113adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
12 dveq0.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413rexrd 10127 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15 dveq0.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716rexrd 10127 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18 elicc2 12276 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
1912, 15, 18syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
2019biimpa 500 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
2120simp1d 1093 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2220simp2d 1094 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
2320simp3d 1095 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
2413, 21, 16, 22, 23letrd 10232 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐵)
25 lbicc2 12326 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2614, 17, 24, 25syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2711, 26ffvelrnd 6400 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
283ffvelrnda 6399 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2927, 28subcld 10430 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
30 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3126, 30jca 553 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
32 dveq0.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
3332dmeqd 5358 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
34 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3534snnz 4340 . . . . . . . . . . 11 {0} ≠ ∅
36 dmxp 5376 . . . . . . . . . . 11 ({0} ≠ ∅ → dom ((𝐴(,)𝐵) × {0}) = (𝐴(,)𝐵))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom ((𝐴(,)𝐵) × {0}) = (𝐴(,)𝐵)
3833, 37syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
39 0red 10079 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4032fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐴(,)𝐵) × {0})‘𝑦))
4134fvconst2 6510 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) × {0})‘𝑦) = 0)
4240, 41sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 0)
4342abs00bd 14075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = 0)
44 0le0 11148 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
4543, 44syl6eqbr 4724 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 0)
4612, 15, 1, 38, 39, 45dvlip 23801 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ (0 · (abs‘(𝐴𝑥))))
4731, 46syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ (0 · (abs‘(𝐴𝑥))))
4813recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4921recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5048, 49subcld 10430 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
5150abscld 14219 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐴𝑥)) ∈ ℝ)
5251recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐴𝑥)) ∈ ℂ)
5352mul02d 10272 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (abs‘(𝐴𝑥))) = 0)
5447, 53breqtrd 4711 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ 0)
5529absge0d 14227 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))))
5629abscld 14219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
57 0re 10078 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
58 letri3 10161 . . . . . . 7 (((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))))))
5956, 57, 58sylancl 695 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))))))
6054, 55, 59mpbir2and 977 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) = 0)
6129, 60abs00d 14229 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥)) = 0)
6227, 28, 61subeq0d 10438 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐴) = (𝐹𝑥))
6310, 62eqtr2d 2686 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) = (((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)})‘𝑥))
645, 8, 63eqfnfvd 6354 1 (𝜑𝐹 = ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  *cxr 10111  cle 10113  cmin 10304  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  abscabs 14018  cnccncf 22726   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  ftc2  23852  ftc2nc  33624
  Copyright terms: Public domain W3C validator