Theorem dvdssqf 25084

Description: A divisor of a squarefree number is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqf	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐴) ≠ 0 → (μ‘𝐵) ≠ 0))

Proof of Theorem dvdssqf

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1232	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∥ 𝐴)
2		prmz 15611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
3	2	adantl 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
4		zsqcl 13148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
6		simpl2 1230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 11693	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		simpl1 1228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 11693	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10		dvdstr 15240	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑝↑2) ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑2) ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
12	1, 11	mpan2d 712	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ 𝐵 → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
13	12	reximdva 3155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
14		isnsqf 25081	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((μ‘𝐵) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐵))
15	14	3ad2ant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐵) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐵))
16		isnsqf 25081	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
17	16	3ad2ant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
18	13, 15, 17	3imtr4d 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐵) = 0 → (μ‘𝐴) = 0))
19	18	necon3d 2953	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐴) ≠ 0 → (μ‘𝐵) ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  ℕcn 11232  2c2 11282  ℤcz 11589  ↑cexp 13074   ∥ cdvds 15202  ℙcprime 15607  μcmu 25041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-dvds 15203  df-prm 15608  df-mu 25047

This theorem is referenced by: (None)