Theorem dvdsprm 15617

Description: An integer greater than or equal to 2 divides a prime number iff it is equal to it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprm	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∥ 𝑃 ↔ 𝑁 = 𝑃))

Proof of Theorem dvdsprm

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm4 15599	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))
2	1	simprbi 483	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))
3		breq1 4807	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ 𝑁 ∥ 𝑃))
4		eqeq1 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 = 𝑃 ↔ 𝑁 = 𝑃))
5	3, 4	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → ((𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (𝑁 ∥ 𝑃 → 𝑁 = 𝑃)))
6	5	rspcv 3445	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → (𝑁 ∥ 𝑃 → 𝑁 = 𝑃)))
7	2, 6	mpan9 487	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∥ 𝑃 → 𝑁 = 𝑃))
8	7	ancoms 468	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∥ 𝑃 → 𝑁 = 𝑃))
9		eluzelz 11889	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		iddvds 15197	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
11		breq2 4808	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑃 → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 ∥ 𝑃))
12	10, 11	syl5ibcom 235	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 𝑃 → 𝑁 ∥ 𝑃))
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = 𝑃 → 𝑁 ∥ 𝑃))
14	13	adantr 472	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 = 𝑃 → 𝑁 ∥ 𝑃))
15	8, 14	impbid 202	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∥ 𝑃 ↔ 𝑁 = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  2c2 11262  ℤcz 11569  ℤ_≥cuz 11879   ∥ cdvds 15182  ℙcprime 15587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-prm 15588

This theorem is referenced by:  prmrp  15626  prmdvdsexpb  15630  oddprm  15717  4sqlem17  15867  prmlem0  16014  ppiublem1  25126  chtub  25136  lgsval2lem  25231  lgsqr  25275  lgseisenlem4  25302  lgsquadlem1  25304  lgsquad2  25310  m1lgs  25312  ostth3  25526  ex-mod  27617  2sqcoprm  29956  lighneallem2  42033