Theorem dvdsprime 15447

Description: If 𝑀 divides a prime, then 𝑀 is either the prime or one. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprime	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))

Proof of Theorem dvdsprime

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 15442	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃))))
2		breq1 4688	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 ∥ 𝑃 ↔ 𝑀 ∥ 𝑃))
3		eqeq1 2655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑀 = 1))
4		eqeq1 2655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 = 𝑃 ↔ 𝑀 = 𝑃))
5	3, 4	orbi12d 746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 = 𝑃)))
6		orcom 401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = 1 ∨ 𝑀 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1))
7	5, 6	syl6bb 276	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
8	2, 7	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃)) ↔ (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1))))
9	8	rspccva 3339	. . . 4 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
10	9	adantll 750	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
11	1, 10	sylanb 488	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
12		prmz 15436	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
13		iddvds 15042	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ 𝑃)
16		breq1 4688	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 𝑃 → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
17	15, 16	syl5ibrcom 237	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 = 𝑃 → 𝑀 ∥ 𝑃))
18		1dvds 15043	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
19	12, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∥ 𝑃)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∥ 𝑃)
21		breq1 4688	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
22	20, 21	syl5ibrcom 237	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 = 1 → 𝑀 ∥ 𝑃))
23	17, 22	jaod 394	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∥ 𝑃))
24	11, 23	impbid 202	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  1c1 9975  ℕcn 11058  2c2 11108  ℤcz 11415  ℤ_≥cuz 11725   ∥ cdvds 15027  ℙcprime 15432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433

This theorem is referenced by:  prm2orodd  15451  pythagtriplem4  15571  odcau  18065  prmcyg  18341  2lgs  25177  goldbachthlem2  41783  fmtnofac1  41807  oddprmALTV  41923