MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsnprmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsnprmd 15605
Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less then the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsnprmd.g (𝜑 → 1 < 𝐴)
dvdsnprmd.l (𝜑𝐴 < 𝑁)
dvdsnprmd.d (𝜑𝐴𝑁)
Assertion
Ref Expression
dvdsnprmd (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Proof of Theorem dvdsnprmd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsnprmd.d . 2 (𝜑𝐴𝑁)
2 dvdszrcl 15187 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3 divides 15184 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
5 2z 11601 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
7 simplr 809 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8 dvdsnprmd.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝑁)
98adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝑁)
109adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < 𝑁)
11 breq2 4808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
1211adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
1310, 12mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < (𝑘 · 𝐴))
14 dvdsnprmd.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 < 𝐴)
15 zre 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
16153ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 zre 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
18173ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
19 0lt1 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
20 0red 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22 lttr 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
2419, 23mpani 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
2524imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
26253adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
2716, 18, 263jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
28273exp 1113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
301, 2, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
3114, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
3231imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
3332adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
34 ltmulgt12 11076 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝑘𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (1 < 𝑘𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
3613, 35mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 1 < 𝑘)
37 df-2 11271 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3837breq1i 4811 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)
39 1zzd 11600 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
40 zltp1le 11619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
4139, 40mpancom 706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
4241bicomd 213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4342adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4443adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4538, 44syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (2 ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4636, 45mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ≤ 𝑘)
47 eluz2 11885 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘))
486, 7, 46, 47syl3anbrc 1429 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ∈ ℤ)
50 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
51 1zzd 11600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
52 zltp1le 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
5351, 52mpancom 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
5453biimpa 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (1 + 1) ≤ 𝐴)
5537breq1i 4811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ≤ 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)
5654, 55sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ≤ 𝐴)
5749, 50, 563jca 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
5857ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
601, 2, 593syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
6114, 60mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
62 eluz2 11885 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
6361, 62sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6463adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6564adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
66 nprm 15603 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
6748, 65, 66syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
68 eleq1 2827 . . . . . . . 8 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
6968notbid 307 . . . . . . 7 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7069adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7167, 70mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
7271ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7372rexlimdva 3169 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
744, 73sylbid 230 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
751, 74mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  2c2 11262  cz 11569  cuz 11879  cdvds 15182  cprime 15587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-prm 15588
This theorem is referenced by:  2pwp1prm  42013
  Copyright terms: Public domain W3C validator