MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsnegb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsnegb 14942
Description: An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsnegb ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ -𝑁))

Proof of Theorem dvdsnegb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2 znegcl 11372 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
32anim2i 592 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ))
4 znegcl 11372 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
54adantl 482 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -𝑥 ∈ ℤ)
6 zcn 11342 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7 zcn 11342 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8 mulneg1 10426 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (-𝑥 · 𝑀) = -(𝑥 · 𝑀))
9 negeq 10233 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → -(𝑥 · 𝑀) = -𝑁)
109eqeq2d 2631 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑀) = -(𝑥 · 𝑀) ↔ (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
118, 10syl5ibcom 235 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
126, 7, 11syl2anr 495 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
1312adantlr 750 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
141, 3, 5, 13dvds1lem 14936 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ -𝑁))
15 zcn 11342 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16 negeq 10233 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → -(𝑥 · 𝑀) = --𝑁)
17 negneg 10291 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → --𝑁 = 𝑁)
1816, 17sylan9eqr 2677 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑀) = -𝑁) → -(𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
198, 18sylan9eq 2675 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑀) = -𝑁)) → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
2019expr 642 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
21203impa 1256 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
226, 7, 15, 21syl3an 1365 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
23223coml 1269 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
24233expa 1262 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
253, 1, 5, 24dvds1lem 14936 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ -𝑁𝑀𝑁))
2614, 25impbid 202 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ -𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cc 9894   · cmul 9901  -cneg 10227  cz 11337  cdvds 14926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-z 11338  df-dvds 14927
This theorem is referenced by:  dvdsabsb  14944  dvdssub  14969  dvdsadd2b  14971  3dvds  14995  3dvdsOLD  14996  bitsfzo  15100  bitscmp  15103  gcdneg  15186  prmdiv  15433  pcneg  15521  znunit  19852  2sqblem  25090  ex-mod  27194  congsym  37054  etransclem9  39797
  Copyright terms: Public domain W3C validator