MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdslelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdslelem 15078
Description: Lemma for dvdsle 15079. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1 𝑀 ∈ ℤ
dvdslelem.2 𝑁 ∈ ℕ
dvdslelem.3 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dvdslelem (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℤ
21zrei 11421 . . . . 5 𝐾 ∈ ℝ
3 0re 10078 . . . . 5 0 ∈ ℝ
4 lelttric 10182 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
52, 3, 4mp2an 708 . . . 4 (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾)
6 zgt0ge1 11469 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
87orbi2i 540 . . . 4 ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
95, 8mpbi 220 . . 3 (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)
10 le0neg1 10574 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
112, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾)
12 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℕ
1312nngt0i 11092 . . . . . . . . . . 11 0 < 𝑁
1412nnrei 11067 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℝ
15 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 ∈ ℤ
1615zrei 11421 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ ℝ
173, 14, 16lttri 10201 . . . . . . . . . . 11 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
1813, 17mpan 706 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀)
193, 16ltlei 10197 . . . . . . . . . 10 (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
212renegcli 10380 . . . . . . . . . 10 -𝐾 ∈ ℝ
2221, 16mulge0i 10613 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ -𝐾 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2320, 22sylan2 490 . . . . . . . 8 ((0 ≤ -𝐾𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2411, 23sylanb 488 . . . . . . 7 ((𝐾 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2524expcom 450 . . . . . 6 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
262, 16remulcli 10092 . . . . . . . 8 (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ
27 le0neg1 10574 . . . . . . . 8 ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
292recni 10090 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℂ
3016recni 10090 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℂ
3129, 30mulneg1i 10514 . . . . . . . 8 (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
3231breq2i 4693 . . . . . . 7 (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
3328, 32bitr4i 267 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
3425, 33syl6ibr 242 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0))
3526, 3, 14lelttri 10202 . . . . . 6 (((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
3613, 35mpan2 707 . . . . 5 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
3734, 36syl6 35 . . . 4 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
38 lemulge12 10924 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
3916, 2, 38mpanl12 718 . . . . . . 7 ((0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
4020, 39sylan 487 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
4140ex 449 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)))
4214, 16, 26ltletri 10203 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝑀𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
4342ex 449 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4441, 43syld 47 . . . 4 (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4537, 44orim12d 901 . . 3 (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
469, 45mpi 20 . 2 (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4726, 14lttri2i 10189 . 2 ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4846, 47sylibr 224 1 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305  cn 11058  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  dvdsle  15079
  Copyright terms: Public domain W3C validator