Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsle 15254
 Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsle ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁𝑀𝑁))

Proof of Theorem dvdsle
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑁 < 𝑀𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
2 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · 𝑀) = (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
32neeq1d 2991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → ((𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁))
41, 3imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → ((𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁) ↔ (𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁)))
5 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) ↔ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
6 neeq2 2995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁 ↔ (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
75, 6imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁) ↔ (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
8 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) = (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
98neeq1d 2991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → ((𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ↔ (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
109imbi2d 329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)) ↔ (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
11 1z 11619 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
1211elimel 4294 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) ∈ ℤ
13 1nn 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
1413elimel 4294 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ∈ ℕ
1511elimel 4294 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) ∈ ℤ
1612, 14, 15dvdslelem 15253 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))
174, 7, 10, 16dedth3h 4285 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁))
18173expia 1115 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)))
1918com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)))
20193impia 1110 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁))
2120imp 444 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)
2221neneqd 2937 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
2322nrexdv 3139 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
24 nnz 11611 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
25 divides 15204 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
2624, 25sylan2 492 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
27263adant3 1127 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
2823, 27mtbird 314 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀𝑁)
29283expia 1115 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑀𝑁))
3029con2d 129 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
31 zre 11593 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
32 nnre 11239 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
33 lenlt 10328 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3431, 32, 33syl2an 495 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3530, 34sylibrd 249 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁𝑀𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051  ifcif 4230   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  ℝcr 10147  1c1 10149   · cmul 10153   < clt 10286   ≤ cle 10287  ℕcn 11232  ℤcz 11589   ∥ cdvds 15202 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-dvds 15203 This theorem is referenced by:  dvdsleabs  15255  dvdsssfz1  15262  fzm1ndvds  15266  fzo0dvdseq  15267  n2dvds1  15326  gcd1  15471  bezoutlem4  15481  dfgcd2  15485  gcdzeq  15493  bezoutr1  15504  lcmgcdlem  15541  qredeq  15593  isprm3  15618  prmdvdsfz  15639  isprm5  15641  maxprmfct  15643  isprm6  15648  prmfac1  15653  ncoprmlnprm  15658  pcpre1  15769  pcidlem  15798  pcprod  15821  pcfac  15825  pockthg  15832  prmreclem1  15842  prmreclem3  15844  prmreclem5  15846  1arith  15853  4sqlem11  15881  prmolelcmf  15974  gexcl2  18224  sylow1lem1  18233  sylow1lem5  18237  gexex  18476  ablfac1eu  18692  ablfaclem3  18706  znidomb  20132  dvdsflsumcom  25134  chtublem  25156  vmasum  25161  logfac2  25162  bposlem6  25234  lgsdir  25277  lgsdilem2  25278  lgsne0  25280  lgsqrlem2  25292  lgsquadlem2  25326  2sqlem8  25371  2sqblem  25376  2sqmod  29978  oddpwdc  30746  nn0prpw  32645  nznngen  39035  etransclem41  41013
 Copyright terms: Public domain W3C validator