MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdslcmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdslcmf 15566
Description: The least common multiple of a set of integers is divisible by each of its elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
dvdslcmf ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍))
Distinct variable group:   𝑥,𝑍

Proof of Theorem dvdslcmf
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3738 . . . . . . . 8 (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑥𝑍𝑥 ∈ ℤ))
21adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑥𝑍𝑥 ∈ ℤ))
32adantr 472 . . . . . 6 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → (𝑥𝑍𝑥 ∈ ℤ))
43imp 444 . . . . 5 ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥𝑍) → 𝑥 ∈ ℤ)
5 dvds0 15219 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
64, 5syl 17 . . . 4 ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥𝑍) → 𝑥 ∥ 0)
7 lcmf0val 15557 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 0 ∈ 𝑍) → (lcm𝑍) = 0)
87ad4ant13 1207 . . . 4 ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥𝑍) → (lcm𝑍) = 0)
96, 8breqtrrd 4832 . . 3 ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥𝑍) → 𝑥 ∥ (lcm𝑍))
109ralrimiva 3104 . 2 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍))
11 df-nel 3036 . . . 4 (0 ∉ 𝑍 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑍)
12 lcmfcllem 15560 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑍 𝑥𝑛})
13123expa 1112 . . . 4 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑍 𝑥𝑛})
1411, 13sylan2br 494 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑍 𝑥𝑛})
15 lcmfn0cl 15561 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ ℕ)
16153expa 1112 . . . . 5 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ ℕ)
1711, 16sylan2br 494 . . . 4 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ ℕ)
18 breq2 4808 . . . . . 6 (𝑛 = (lcm𝑍) → (𝑥𝑛𝑥 ∥ (lcm𝑍)))
1918ralbidv 3124 . . . . 5 (𝑛 = (lcm𝑍) → (∀𝑥𝑍 𝑥𝑛 ↔ ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍)))
2019elrab3 3505 . . . 4 ((lcm𝑍) ∈ ℕ → ((lcm𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑍 𝑥𝑛} ↔ ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍)))
2117, 20syl 17 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ((lcm𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑍 𝑥𝑛} ↔ ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍)))
2214, 21mpbid 222 . 2 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍))
2310, 22pm2.61dan 867 1 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wnel 3035  wral 3050  {crab 3054  wss 3715   class class class wbr 4804  cfv 6049  Fincfn 8123  0cc0 10148  cn 11232  cz 11589  cdvds 15202  lcmclcmf 15524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-prod 14855  df-dvds 15203  df-lcmf 15526
This theorem is referenced by:  lcmf  15568  lcmfunsnlem2lem2  15574  lcmfdvdsb  15578  prmodvdslcmf  15973  prmgaplcmlem1  15977
  Copyright terms: Public domain W3C validator