MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdslcm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdslcm 15534
Description: The lcm of two integers is divisible by each of them. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
dvdslcm ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))

Proof of Theorem dvdslcm
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvds0 15220 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∥ 0)
21ad2antrr 764 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑀 ∥ 0)
3 oveq1 6822 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (0 lcm 𝑁))
4 0z 11601 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
5 lcmcom 15529 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 0) = (0 lcm 𝑁))
64, 5mpan2 709 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = (0 lcm 𝑁))
7 lcm0val 15530 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
86, 7eqtr3d 2797 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = 0)
93, 8sylan9eqr 2817 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
109adantll 752 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
11 oveq2 6823 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
12 lcm0val 15530 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
1311, 12sylan9eqr 2817 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
1413adantlr 753 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
1510, 14jaodan 861 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
162, 15breqtrrd 4833 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
17 dvds0 15220 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
1817ad2antlr 765 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∥ 0)
1918, 15breqtrrd 4833 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
2016, 19jca 555 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
21 lcmcllem 15532 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)})
22 lcmn0cl 15533 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ)
23 breq2 4809 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑀 lcm 𝑁) → (𝑀𝑛𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
24 breq2 4809 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑀 lcm 𝑁) → (𝑁𝑛𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
2523, 24anbi12d 749 . . . . 5 (𝑛 = (𝑀 lcm 𝑁) → ((𝑀𝑛𝑁𝑛) ↔ (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))))
2625elrab3 3506 . . . 4 ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ↔ (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))))
2722, 26syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ↔ (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))))
2821, 27mpbid 222 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
2920, 28pm2.61dan 867 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  {crab 3055   class class class wbr 4805  (class class class)co 6815  0cc0 10149  cn 11233  cz 11590  cdvds 15203   lcm clcm 15524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-dvds 15204  df-lcm 15526
This theorem is referenced by:  gcddvdslcm  15538  lcmneg  15539  lcmgcdeq  15548  lcmdvdsb  15549  lcmftp  15572  lcmfunsnlem2lem2  15575  nzin  39038
  Copyright terms: Public domain W3C validator