MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsfac 15257
Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsfac ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsfac
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (!‘𝑥) = (!‘𝐾))
21breq2d 4798 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
32imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))))
4 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
54breq2d 4798 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑦)))
65imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦))))
7 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
87breq2d 4798 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
98imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
10 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
1110breq2d 4798 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))))
13 nnm1nn0 11536 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
14 faccl 13274 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1615nnzd 11683 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
17 nnz 11601 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
18 dvdsmul2 15213 . . . . . 6 (((!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
1916, 17, 18syl2anc 573 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
20 facnn2 13273 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
2119, 20breqtrrd 4814 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))
2221a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
2317adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
24 elnnuz 11926 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
25 uztrn 11905 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
2624, 25sylan2b 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
27 elnnuz 11926 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
2826, 27sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
2928nnnn0d 11553 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
30 faccl 13274 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
3231nnzd 11683 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℤ)
3328nnzd 11683 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
3433peano2zd 11687 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
35 dvdsmultr1 15228 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
3623, 32, 34, 35syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
37 facp1 13269 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
3829, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
3938breq2d 4798 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)) ↔ 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
4036, 39sylibrd 249 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
4140ex 397 . . . 4 (𝑦 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
4241a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦)) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
433, 6, 9, 12, 22, 42uzind4 11948 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
4443impcom 394 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cmin 10468  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  !cfa 13264  cdvds 15189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-seq 13009  df-fac 13265  df-dvds 15190
This theorem is referenced by:  lcmflefac  15569  prmunb  15825  prmgaplem1  15960  gexcl3  18209  wilth  25018  chtublem  25157
  Copyright terms: Public domain W3C validator