MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds1 15088
Description: The only nonnegative integer that divides 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvds1 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∥ 1 ↔ 𝑀 = 1))

Proof of Theorem dvds1
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∥ 1) → 𝑀 ∈ ℕ0)
2 1nn0 11346 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∥ 1) → 1 ∈ ℕ0)
4 simpr 476 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∥ 1) → 𝑀 ∥ 1)
5 nn0z 11438 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
6 1dvds 15043 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑀)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∥ 𝑀)
87adantr 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∥ 1) → 1 ∥ 𝑀)
9 dvdseq 15083 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∥ 1 ∧ 1 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = 1)
101, 3, 4, 8, 9syl22anc 1367 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∥ 1) → 𝑀 = 1)
1110ex 449 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
12 id 22 . . 3 (𝑀 = 1 → 𝑀 = 1)
13 1z 11445 . . . 4 1 ∈ ℤ
14 iddvds 15042 . . . 4 (1 ∈ ℤ → 1 ∥ 1)
1513, 14ax-mp 5 . . 3 1 ∥ 1
1612, 15syl6eqbr 4724 . 2 (𝑀 = 1 → 𝑀 ∥ 1)
1711, 16impbid1 215 1 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∥ 1 ↔ 𝑀 = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  1c1 9975  0cn0 11330  cz 11415  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  rpmulgcd2  15417  rpmul  15420  1nprm  15439  nprmdvds1  15465  expnprm  15653  ablfacrp  18511  chrnzr  19926  znunit  19960  znrrg  19962  lighneallem3  41849
  Copyright terms: Public domain W3C validator