MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds0 15191
Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Proof of Theorem dvds0
StepHypRef Expression
1 zcn 11566 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21mul02d 10418 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 · 𝑁) = 0)
3 0z 11572 . . 3 0 ∈ ℤ
4 dvds0lem 15186 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 · 𝑁) = 0) → 𝑁 ∥ 0)
54ex 449 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
63, 3, 5mp3an13 1556 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
72, 6mpd 15 1 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  0cc0 10120   · cmul 10125  cz 11561  cdvds 15174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-ltxr 10263  df-neg 10453  df-z 11562  df-dvds 15175
This theorem is referenced by:  0dvds  15196  fsumdvds  15224  alzdvds  15236  fzo0dvdseq  15239  z0even  15297  bitsfzo  15351  bitsmod  15352  bitsinv1lem  15357  sadadd3  15377  gcddvds  15419  gcd0id  15434  bezoutlem4  15453  dfgcd2  15457  dvdssq  15474  dvdslcm  15505  lcmdvds  15515  dvdslcmf  15538  mulgcddvds  15563  odzdvds  15694  pcdvdsb  15767  pcz  15779  sylow2blem3  18229  odadd1  18443  odadd2  18444  cyggex2  18490  ppiublem2  25119  lgsdir2lem3  25243  lgsne0  25251  lgsqr  25267  eupth2lem3lem3  27374  eupth2lemb  27381  nn0prpw  32616  poimirlem25  33739  poimirlem26  33740  poimirlem27  33741  poimirlem28  33742  congid  38032  jm2.18  38049  jm2.19  38054  jm2.22  38056  jm2.23  38057  etransclem24  40970  etransclem25  40971  etransclem28  40974
  Copyright terms: Public domain W3C validator