Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdivbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdivbd 40641
Description: A sufficient condition for the derivative to be bounded, for the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivbd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivbd.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvdivbd.adv (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐶))
dvdivbd.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvdivbd.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
dvdivbd.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
dvdivbd.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dvdivbd.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvdivbd.q (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
dvdivbd.cbd ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐶) ≤ 𝑈)
dvdivbd.bbd ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑅)
dvdivbd.dbd ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐷) ≤ 𝑇)
dvdivbd.abd ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑄)
dvdivbd.bdv (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐷))
dvdivbd.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
dvdivbd.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
dvdivbd.ele (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐸 ≤ (abs‘𝐵))
dvdivbd.f 𝐹 = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
dvdivbd (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑏,𝑥   𝐹,𝑏   𝑄,𝑏,𝑥   𝑅,𝑏,𝑥   𝑥,𝑆   𝑇,𝑏,𝑥   𝑈,𝑏,𝑥   𝑋,𝑏,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝐴(𝑥,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑏)   𝐶(𝑥,𝑏)   𝐷(𝑥,𝑏)   𝑆(𝑏)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvdivbd
StepHypRef Expression
1 dvdivbd.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
2 dvdivbd.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
31, 2remulcld 10262 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 · 𝑅) ∈ ℝ)
4 dvdivbd.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5 dvdivbd.q . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
64, 5remulcld 10262 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) ∈ ℝ)
73, 6readdcld 10261 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) ∈ ℝ)
8 dvdivbd.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
98rpred 12065 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
109resqcld 13229 . . 3 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
118rpcnd 12067 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
128rpgt0d 12068 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝐸)
1312gt0ne0d 10784 . . . 4 (𝜑𝐸 ≠ 0)
14 2z 11601 . . . . 5 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
1611, 13, 15expne0d 13208 . . 3 (𝜑 → (𝐸↑2) ≠ 0)
177, 10, 16redivcld 11045 . 2 (𝜑 → (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
18 dvdivbd.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)))
19 dvdivbd.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
20 dvdivbd.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 dvdivbd.c . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
22 dvdivbd.adv . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐶))
23 dvdivbd.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
24 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
2524abs00bd 14230 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘𝐵) = 0)
26 0red 10233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
279adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
2823abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
2912adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 < 𝐸)
30 dvdivbd.ele . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐸 ≤ (abs‘𝐵))
3130r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ≤ (abs‘𝐵))
3226, 27, 28, 29, 31ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 < (abs‘𝐵))
3332gt0ne0d 10784 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐵) ≠ 0)
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘𝐵) ≠ 0)
3534neneqd 2937 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → ¬ (abs‘𝐵) = 0)
3625, 35pm2.65da 601 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝐵 = 0)
3736neqned 2939 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ≠ 0)
38 eldifsn 4462 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3923, 37, 38sylanbrc 701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
40 dvdivbd.d . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
41 dvdivbd.bdv . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐷))
4219, 20, 21, 22, 39, 40, 41dvmptdiv 23936 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))))
4318, 42syl5eq 2806 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))))
4421, 23mulcld 10252 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
4540, 20mulcld 10252 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
4644, 45subcld 10584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) ∈ ℂ)
4723sqcld 13200 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
48 sqne0 13124 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
4923, 48syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
5037, 49mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵↑2) ≠ 0)
5146, 47, 50divcld 10993 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
5243, 51fvmpt2d 6455 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2)))
5352fveq2d 6356 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))))
5446, 47, 50absdivd 14393 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))) = ((abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) / (abs‘(𝐵↑2))))
5546abscld 14374 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) ∈ ℝ)
567adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) ∈ ℝ)
578adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ+)
5814a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℤ)
5957, 58rpexpcld 13226 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
6047abscld 14374 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐵↑2)) ∈ ℝ)
6146absge0d 14382 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))))
6244abscld 14374 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
6345abscld 14374 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐷 · 𝐴)) ∈ ℝ)
6462, 63readdcld 10261 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) + (abs‘(𝐷 · 𝐴))) ∈ ℝ)
6544, 45abs2dif2d 14396 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) + (abs‘(𝐷 · 𝐴))))
663adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑈 · 𝑅) ∈ ℝ)
676adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑇 · 𝑄) ∈ ℝ)
6821, 23absmuld 14392 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
6921abscld 14374 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
701adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑈 ∈ ℝ)
712adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
7221absge0d 14382 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
7323absge0d 14382 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
74 dvdivbd.cbd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐶) ≤ 𝑈)
75 dvdivbd.bbd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑅)
7669, 70, 28, 71, 72, 73, 74, 75lemul12ad 11158 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ≤ (𝑈 · 𝑅))
7768, 76eqbrtrd 4826 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ≤ (𝑈 · 𝑅))
7840, 20absmuld 14392 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐷 · 𝐴)) = ((abs‘𝐷) · (abs‘𝐴)))
7940abscld 14374 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐷) ∈ ℝ)
804adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
8120abscld 14374 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
825adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑄 ∈ ℝ)
8340absge0d 14382 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐷))
8420absge0d 14382 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
85 dvdivbd.dbd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐷) ≤ 𝑇)
86 dvdivbd.abd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑄)
8779, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86lemul12ad 11158 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘𝐷) · (abs‘𝐴)) ≤ (𝑇 · 𝑄))
8878, 87eqbrtrd 4826 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐷 · 𝐴)) ≤ (𝑇 · 𝑄))
8962, 63, 66, 67, 77, 88le2addd 10838 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) + (abs‘(𝐷 · 𝐴))) ≤ ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)))
9055, 64, 56, 65, 89letrd 10386 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) ≤ ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)))
91 2nn0 11501 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
9291a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℕ0)
9326, 27, 29ltled 10377 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ 𝐸)
94 leexp1a 13113 . . . . . . . 8 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐸𝐸 ≤ (abs‘𝐵))) → (𝐸↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2))
9527, 28, 92, 93, 31, 94syl32anc 1485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐸↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2))
9623, 92absexpd 14390 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐵↑2)) = ((abs‘𝐵)↑2))
9795, 96breqtrrd 4832 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐸↑2) ≤ (abs‘(𝐵↑2)))
9855, 56, 59, 60, 61, 90, 97lediv12ad 12124 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) / (abs‘(𝐵↑2))) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)))
9954, 98eqbrtrd 4826 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)))
10053, 99eqbrtrd 4826 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)))
101100ralrimiva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)))
102 breq2 4808 . . . 4 (𝑏 = (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2))))
103102ralbidv 3124 . . 3 (𝑏 = (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)) → (∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2))))
104103rspcev 3449 . 2 (((((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
10517, 101, 104syl2anc 696 1 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  cdif 3712  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  +crp 12025  cexp 13054  abscabs 14173   D cdv 23826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-t1 21320  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  40894
  Copyright terms: Public domain W3C validator