MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcxp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcxp1 24601
Description: The derivative of a complex power with respect to the first argument. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcxp1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcxp1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 10141 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 relogcl 24442 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
43adantl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5 rpreccl 11971 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
65adantl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
7 recn 10139 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8 mulcl 10133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
9 efcl 14933 . . . . 5 ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
117, 10sylan2 492 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
12 ovexd 6795 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
13 dvrelog 24503 . . . 4 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
14 relogf1o 24433 . . . . . . . 8 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
15 f1of 6250 . . . . . . . 8 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
1716feqmptd 6363 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
18 fvres 6320 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
1918mpteq2ia 4848 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
2017, 19syl6eq 2774 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
2120oveq2d 6781 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
2213, 21syl5reqr 2773 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
23 eqid 2724 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2423cnfldtopon 22708 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
25 toponmax 20853 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
2624, 25mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
27 ax-resscn 10106 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ⊆ ℂ)
29 df-ss 3694 . . . . 5 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
3028, 29sylib 208 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
31 ovexd 6795 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
32 cnelprrecn 10142 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3332a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
34 simpl 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
35 efcl 14933 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
3635adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
37 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
38 1cnd 10169 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
3933dvmptid 23840 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
40 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4133, 37, 38, 39, 40dvmptcmul 23847 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
42 mulid1 10150 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
4342mpteq2dv 4853 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
4441, 43eqtrd 2758 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
45 dvef 23863 . . . . . 6 (ℂ D exp) = exp
46 eff 14932 . . . . . . . . . 10 exp:ℂ⟶ℂ
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
4847feqmptd 6363 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4948eqcomd 2730 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)) = exp)
5049oveq2d 6781 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (ℂ D exp))
5145, 50, 493eqtr4a 2784 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
52 fveq2 6304 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
5333, 33, 8, 34, 36, 36, 44, 51, 52, 52dvmptco 23855 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
5423, 2, 26, 30, 10, 31, 53dvmptres3 23839 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
55 oveq2 6773 . . . 4 (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
5655fveq2d 6308 . . 3 (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
5756oveq1d 6780 . . 3 (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
582, 2, 4, 6, 11, 12, 22, 54, 56, 57dvmptco 23855 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
59 rpcn 11955 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
6059adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
61 rpne0 11962 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
6261adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
63 simpl 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6460, 62, 63cxpefd 24578 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
6564mpteq2dva 4852 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐𝐴)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
6665oveq2d 6781 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
67 1cnd 10169 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
6860, 62, 63, 67cxpsubd 24584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (𝑥𝑐1)))
6960cxp1d 24572 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
7069oveq2d 6781 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐𝐴) / (𝑥𝑐1)) = ((𝑥𝑐𝐴) / 𝑥))
7160, 63cxpcld 24574 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐𝐴) ∈ ℂ)
7271, 60, 62divrecd 10917 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
7368, 70, 723eqtrd 2762 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
7473oveq2d 6781 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
756rpcnd 11988 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
7663, 71, 75mul12d 10358 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
7771, 63, 75mulassd 10176 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
7876, 77eqtr4d 2761 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
7964oveq1d 6780 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
8079oveq1d 6780 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
8174, 78, 803eqtrd 2762 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
8281mpteq2dva 4852 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
8358, 66, 823eqtr4d 2768 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  Vcvv 3304  cin 3679  wss 3680  {cpr 4287  cmpt 4837  cres 5220  wf 5997  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   · cmul 10054  cmin 10379   / cdiv 10797  +crp 11946  expce 14912  TopOpenctopn 16205  fldccnfld 19869  TopOnctopon 20838   D cdv 23747  logclog 24421  𝑐ccxp 24422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-cmp 21313  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-cxp 24424
This theorem is referenced by:  dvsqrt  24603  logdivsqrle  30958
  Copyright terms: Public domain W3C validator