MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcobr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcobr 23754
Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 23755. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvco.x (𝜑𝑋𝑆)
dvco.g (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
dvco.y (𝜑𝑌𝑇)
dvcobr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvcobr.t (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
dvco.k (𝜑𝐾𝑉)
dvco.l (𝜑𝐿𝑉)
dvco.bf (𝜑 → (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvco.bg (𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿)
dvco.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvcobr (𝜑𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿))

Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4 (𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2651 . . . . 5 (𝐽t 𝑇) = (𝐽t 𝑇)
3 dvco.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 eqid 2651 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvcobr.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
6 dvco.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
7 dvco.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
8 dvcobr.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
97, 8sstrd 3646 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
106, 9fssd 6095 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
11 dvco.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑇)
122, 3, 4, 5, 10, 11eldv 23707 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
131, 12mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
1413simpld 474 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌))
15 dvco.bf . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
16 dvco.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
178, 16, 7dvcl 23708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
1815, 17mpdan 703 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1918ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐾 ∈ ℂ)
2016adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
21 eldifi 3765 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑌)
22 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌𝑋𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑋)
236, 21, 22syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑋)
2420, 23ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
2524adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
266adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐺:𝑌𝑋)
275, 10, 11dvbss 23710 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (𝑇 D 𝐺) ⊆ 𝑌)
28 reldv 23679 . . . . . . . . . . . . 13 Rel (𝑇 D 𝐺)
29 releldm 5390 . . . . . . . . . . . . 13 ((Rel (𝑇 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3028, 1, 29sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3127, 30sseldd 3637 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑌)
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐶𝑌)
3326, 32ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
3420, 33ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘(𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
3534adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐹‘(𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
3625, 35subcld 10430 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
3710ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
3821ad2antlr 763 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝑧𝑌)
3937, 38ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
4031ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐶𝑌)
4137, 40ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
4239, 41subcld 10430 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
43 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶))
4439, 41subeq0ad 10440 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0 ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
4544necon3abid 2859 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
4643, 45mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ≠ 0)
4736, 42, 46divcld 10839 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
4819, 47ifclda 4153 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) ∈ ℂ)
4911, 5sstrd 3646 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
5010, 49, 31dvlem 23705 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
51 ssid 3657 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
5251a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
533cnfldtopon 22633 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
54 txtopon 21442 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
5553, 53, 54mp2an 708 . . . . . 6 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
5655toponunii 20769 . . . . . . 7 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
5756restid 16141 . . . . . 6 ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) → ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ)) = (𝐽 ×t 𝐽))
5855, 57ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ)) = (𝐽 ×t 𝐽)
5958eqcomi 2660 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
6023anim1i 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)))
61 eldifsn 4350 . . . . . . 7 ((𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)))
6260, 61sylibr 224 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)) → (𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}))
6362anasss 680 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶))) → (𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}))
64 eldifsni 4353 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) → 𝑦 ≠ (𝐺𝐶))
65 ifnefalse 4131 . . . . . . . 8 (𝑦 ≠ (𝐺𝐶) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
6664, 65syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
6766adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
686, 31ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
6916, 9, 68dvlem 23705 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
7067, 69eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) ∈ ℂ)
71 limcresi 23694 . . . . . . 7 (𝐺 lim 𝐶) ⊆ ((𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) lim 𝐶)
726feqmptd 6288 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)))
7372reseq1d 5427 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})))
74 difss 3770 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
75 resmpt 5484 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌 → ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)))
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧))
7773, 76syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)))
7877oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
7971, 78syl5sseq 3686 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐶) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
80 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
8180, 3dvcnp2 23728 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑌𝑇) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
825, 10, 11, 30, 81syl31anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
833, 80cnplimc 23696 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝐶𝑌) → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
8449, 31, 83syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
8582, 84mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶)))
8685simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))
8779, 86sseldd 3637 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
88 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
89 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
9088, 3, 89, 8, 16, 7eldv 23707 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ ((𝐺𝐶) ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶)))))
9115, 90mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐶) ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶))))
9291simprd 478 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶)))
9366mpteq2ia 4773 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
9493oveq1i 6700 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) lim (𝐺𝐶)) = ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶))
9592, 94syl6eleqr 2741 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) lim (𝐺𝐶)))
96 eqeq1 2655 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 = (𝐺𝐶) ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
97 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
9897oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))))
99 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))
10098, 99oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
10196, 100ifbieq2d 4144 . . . . 5 (𝑦 = (𝐺𝑧) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))))
102 iftrue 4125 . . . . . 6 ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) = 𝐾)
103102ad2antll 765 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶))) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) = 𝐾)
10463, 70, 87, 95, 101, 103limcco 23702 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))) lim 𝐶))
10513simprd 478 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
1063mulcn 22717 . . . . 5 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1075, 10, 11dvcl 23708 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
1081, 107mpdan 703 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
109 opelxpi 5182 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
11018, 108, 109syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
11156cncnpi 21130 . . . . 5 (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
112106, 110, 111sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
11348, 50, 52, 52, 3, 59, 104, 105, 112limccnp2 23701 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
114 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝐾 = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
115114eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝐾 = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → ((𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) ↔ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶))))
116 oveq1 6697 . . . . . . . 8 ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
117116eqeq1d 2653 . . . . . . 7 ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → (((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) ↔ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶))))
11819mul01d 10273 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · 0) = 0)
1199adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑋 ⊆ ℂ)
120119, 23sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
121119, 33sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
122120, 121subeq0ad 10440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0 ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
123122biimpar 501 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0)
124123oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (0 / (𝑧𝐶)))
12549adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑌 ⊆ ℂ)
12621adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧𝑌)
127125, 126sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
128125, 32sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
129127, 128subcld 10430 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
130 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) → 𝑧𝐶)
131130adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧𝐶)
132127, 128, 131subne0d 10439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
133129, 132div0d 10838 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (0 / (𝑧𝐶)) = 0)
134133adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (0 / (𝑧𝐶)) = 0)
135124, 134eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = 0)
136135oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝐾 · 0))
137 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
13824, 34subeq0ad 10440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0 ↔ (𝐹‘(𝐺𝑧)) = (𝐹‘(𝐺𝐶))))
139137, 138syl5ibr 236 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0))
140139imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0)
141140oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = (0 / (𝑧𝐶)))
142141, 134eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = 0)
143118, 136, 1423eqtr4d 2695 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
144129adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
145132adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
14636, 42, 144, 46, 145dmdcan2d 10869 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
147115, 117, 143, 146ifbothda 4156 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
148 fvco3 6314 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝑌𝑋𝑧𝑌) → ((𝐹𝐺)‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
1496, 21, 148syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐺)‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
150 fvco3 6314 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌𝑋𝐶𝑌) → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
1516, 31, 150syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
152151adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
153149, 152oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))))
154153oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
155147, 154eqtr4d 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
156155mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))))
157156oveq1d 6705 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
158113, 157eleqtrd 2732 . 2 (𝜑 → (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
159 eqid 2651 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
160 fco 6096 . . . 4 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑌𝑋) → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
16116, 6, 160syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
1622, 3, 159, 5, 161, 11eldv 23707 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
16314, 158, 162mpbir2and 977 1 (𝜑𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143  cres 5145  ccom 5147  Rel wrel 5148  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979  cmin 10304   / cdiv 10722  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  fldccnfld 19794  TopOnctopon 20763  intcnt 20869   Cn ccn 21076   CnP ccnp 21077   ×t ctx 21411   lim climc 23671   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  dvco  23755  dvcof  23756  dvef  23788
  Copyright terms: Public domain W3C validator