MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvrelem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvrelem2 23901
Description: Lemma for dvcnvre 23902. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
dvcnvre.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
dvcnvre.c (𝜑𝐶𝑋)
dvcnvre.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
dvcnvre.s (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
dvcnvre.t 𝑇 = (topGen‘ran (,))
dvcnvre.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
dvcnvre.m 𝑀 = (𝐽t 𝑋)
dvcnvre.n 𝑁 = (𝐽t 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvcnvrelem2 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))

Proof of Theorem dvcnvrelem2
StepHypRef Expression
1 dvcnvre.t . . . . . 6 𝑇 = (topGen‘ran (,))
2 retop 22687 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2799 . . . . 5 𝑇 ∈ Top
43a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Top)
5 dvcnvre.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
6 f1ofo 6257 . . . . . 6 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
7 forn 6231 . . . . . 6 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
85, 6, 73syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑌)
9 dvcnvre.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
10 cncff 22818 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
11 frn 6166 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
129, 10, 113syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
138, 12eqsstr3d 3746 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
14 imassrn 5587 . . . . 5 (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ran 𝐹
1514, 8syl5sseq 3759 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌)
16 uniretop 22688 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
171unieqi 4553 . . . . . 6 𝑇 = (topGen‘ran (,))
1816, 17eqtr4i 2749 . . . . 5 ℝ = 𝑇
1918ntrss 20982 . . . 4 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌) → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘𝑌))
204, 13, 15, 19syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘𝑌))
21 dvcnvre.d . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
22 dvcnvre.z . . . . 5 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
23 dvcnvre.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
24 dvcnvre.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
25 dvcnvre.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
269, 21, 22, 5, 23, 24, 25dvcnvrelem1 23900 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
271fveq2i 6307 . . . . 5 (int‘𝑇) = (int‘(topGen‘ran (,)))
2827fveq1i 6305 . . . 4 ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
2926, 28syl6eleqr 2814 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
3020, 29sseldd 3710 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘𝑌))
31 f1ocnv 6262 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
32 f1of 6250 . . . . . . 7 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
335, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
34 ffun 6161 . . . . . 6 (𝐹:𝑌𝑋 → Fun 𝐹)
35 funcnvres 6080 . . . . . 6 (Fun 𝐹(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
3633, 34, 353syl 18 . . . . 5 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
37 dvbsss 23786 . . . . . . . . . . 11 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
3821, 37syl6eqssr 3762 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
39 ax-resscn 10106 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
4038, 39syl6ss 3721 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
41 cncfss 22824 . . . . . . . . 9 ((((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋𝑋 ⊆ ℂ) → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋))
4225, 40, 41syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋))
43 f1of1 6249 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
445, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋1-1𝑌)
45 f1ores 6264 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
4644, 25, 45syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
47 dvcnvre.j . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4847tgioo2 22728 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
491, 48eqtri 2746 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐽t ℝ)
5049oveq1i 6775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ((𝐽t ℝ) ↾t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
5147cnfldtop 22709 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ Top
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
5325, 38sstrd 3719 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ)
54 reex 10140 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
56 restabs 21092 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → ((𝐽t ℝ) ↾t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
5752, 53, 55, 56syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽t ℝ) ↾t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
5850, 57syl5eq 2770 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
5938, 23sseldd 3710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6024rpred 11986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
6159, 60resubcld 10571 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
6259, 60readdcld 10182 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
63 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
641, 63icccmp 22750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp)
6561, 62, 64syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp)
6658, 65eqeltrrd 2804 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp)
67 f1of 6250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
6846, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
6912, 39syl6ss 3721 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
7014, 69syl5ss 3720 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ)
71 rescncf 22822 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋 → (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ)))
7225, 9, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ))
73 cncffvrn 22823 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ)) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7470, 72, 73syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7568, 74mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
76 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
7747, 76cncfcnvcn 22846 . . . . . . . . . 10 (((𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp ∧ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7866, 75, 77syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7946, 78mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
8042, 79sseldd 3710 . . . . . . 7 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋))
81 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
82 dvcnvre.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝐽t 𝑋)
8347, 81, 82cncfcn 22834 . . . . . . . 8 (((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋) = ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8470, 40, 83syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋) = ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8580, 84eleqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8659, 24ltsubrpd 12018 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶𝑅) < 𝐶)
8761, 59, 86ltled 10298 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝑅) ≤ 𝐶)
8859, 24ltaddrpd 12019 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 < (𝐶 + 𝑅))
8959, 62, 88ltled 10298 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))
90 elicc2 12352 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
9161, 62, 90syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
9259, 87, 89, 91mpbir3and 1382 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
93 ffun 6161 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋⟶ℝ → Fun 𝐹)
949, 10, 933syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
95 fdm 6164 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝑋)
969, 10, 953syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
9725, 96sseqtr4d 3748 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹)
98 funfvima2 6608 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
9994, 97, 98syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
10092, 99mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
10147cnfldtopon 22708 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
102 resttopon 21088 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ) → (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (TopOn‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
103101, 70, 102sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (TopOn‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
104 toponuni 20842 . . . . . . . 8 ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (TopOn‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
105103, 104syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
106100, 105eleqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
107 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
108107cncnpi 21205 . . . . . 6 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀) ∧ (𝐹𝐶) ∈ (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
10985, 106, 108syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
11036, 109eqeltrrd 2804 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
111 dvcnvre.n . . . . . . . 8 𝑁 = (𝐽t 𝑌)
112111oveq1i 6775 . . . . . . 7 (𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((𝐽t 𝑌) ↾t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
113 ssexg 4912 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
11413, 54, 113sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ V)
115 restabs 21092 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌𝑌 ∈ V) → ((𝐽t 𝑌) ↾t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
11652, 15, 114, 115syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝑌) ↾t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
117112, 116syl5eq 2770 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
118117oveq1d 6780 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀) = ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀))
119118fveq1d 6306 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)) = (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
120110, 119eleqtrrd 2806 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
12113, 39syl6ss 3721 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
122 resttopon 21088 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
123101, 121, 122sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
124111, 123syl5eqel 2807 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (TopOn‘𝑌))
125 topontop 20841 . . . . 5 (𝑁 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑁 ∈ Top)
126124, 125syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Top)
127 toponuni 20842 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑌 = 𝑁)
128124, 127syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 = 𝑁)
12915, 128sseqtrd 3747 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑁)
13015, 13sstrd 3719 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℝ)
131 difssd 3846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ ∖ 𝑌) ⊆ ℝ)
132130, 131unssd 3897 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌)) ⊆ ℝ)
133 ssun1 3884 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))
134133a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌)))
13518ntrss 20982 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌)) ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))))
1364, 132, 134, 135syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))))
137136, 29sseldd 3710 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))))
138 f1of 6250 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
1395, 138syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
140139, 23ffvelrnd 6475 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝑌)
141137, 140elind 3906 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
142 eqid 2724 . . . . . . . 8 (𝑇t 𝑌) = (𝑇t 𝑌)
14318, 142restntr 21109 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌) → ((int‘(𝑇t 𝑌))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
1444, 13, 15, 143syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝑌))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
145 restabs 21092 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → ((𝐽t ℝ) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
14652, 13, 55, 145syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽t ℝ) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
14749oveq1i 6775 . . . . . . . . 9 (𝑇t 𝑌) = ((𝐽t ℝ) ↾t 𝑌)
148146, 147, 1113eqtr4g 2783 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇t 𝑌) = 𝑁)
149148fveq2d 6308 . . . . . . 7 (𝜑 → (int‘(𝑇t 𝑌)) = (int‘𝑁))
150149fveq1d 6306 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝑌))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
151144, 150eqtr3d 2760 . . . . 5 (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌) = ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
152141, 151eleqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
153128feq2d 6144 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝑌𝑋𝐹: 𝑁𝑋))
15433, 153mpbid 222 . . . . 5 (𝜑𝐹: 𝑁𝑋)
155 resttopon 21088 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
156101, 40, 155sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
15782, 156syl5eqel 2807 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (TopOn‘𝑋))
158 toponuni 20842 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝑀)
159 feq3 6141 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑀 → (𝐹: 𝑁𝑋𝐹: 𝑁 𝑀))
160157, 158, 1593syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹: 𝑁𝑋𝐹: 𝑁 𝑀))
161154, 160mpbid 222 . . . 4 (𝜑𝐹: 𝑁 𝑀)
162 eqid 2724 . . . . 5 𝑁 = 𝑁
163 eqid 2724 . . . . 5 𝑀 = 𝑀
164162, 163cnprest 21216 . . . 4 (((𝑁 ∈ Top ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑁) ∧ ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ 𝐹: 𝑁 𝑀)) → (𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))
165126, 129, 152, 161, 164syl22anc 1440 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))
166120, 165mpbird 247 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
16730, 166jca 555 1 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  cdif 3677  cun 3678  cin 3679  wss 3680   cuni 4544   class class class wbr 4760  ccnv 5217  dom cdm 5218  ran crn 5219  cres 5220  cima 5221  Fun wfun 5995  wf 5997  1-1wf1 5998  ontowfo 5999  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049   + caddc 10052  cle 10188  cmin 10379  +crp 11946  (,)cioo 12289  [,]cicc 12292  t crest 16204  TopOpenctopn 16205  topGenctg 16221  fldccnfld 19869  Topctop 20821  TopOnctopon 20838  intcnt 20944   Cn ccn 21151   CnP ccnp 21152  Compccmp 21312  cnccncf 22801   D cdv 23747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-cmp 21313  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751
This theorem is referenced by:  dvcnvre  23902
  Copyright terms: Public domain W3C validator