MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvlem 23959
Description: Lemma for dvcnvre 24002. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnv.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
dvcnv.k 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
dvcnv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcnv.y (𝜑𝑌𝐾)
dvcnv.f (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
dvcnv.i (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
dvcnv.d (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvcnv.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
dvcnv.c (𝜑𝐶𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvcnvlem (𝜑 → (𝐹𝐶)(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcnvlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnv.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
2 f1of 6278 . . . . 5 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
4 dvcnv.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
53, 4ffvelrnd 6503 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝑌)
6 dvcnv.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
7 dvcnv.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
87cnfldtopon 22806 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9 dvcnv.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10 recnprss 23888 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
12 resttopon 21186 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
138, 11, 12sylancr 575 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
146, 13syl5eqel 2854 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
15 topontop 20938 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐾 ∈ Top)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 dvcnv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐾)
18 isopn3i 21107 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌𝐾) → ((int‘𝐾)‘𝑌) = 𝑌)
1916, 17, 18syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → ((int‘𝐾)‘𝑌) = 𝑌)
205, 19eleqtrrd 2853 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝐾)‘𝑌))
21 f1ocnv 6290 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
22 f1of 6278 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
231, 21, 223syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
24 eldifi 3883 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) → 𝑧𝑌)
25 ffvelrn 6500 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑌𝑋𝑧𝑌) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑋)
2623, 24, 25syl2an 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑋)
2726anim1i 602 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶))
28 eldifsn 4453 . . . . . 6 ((𝐹𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶))
2927, 28sylibr 224 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶) → (𝐹𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
3029anasss 457 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
31 eldifi 3883 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑦𝑋)
32 dvcnv.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
33 dvbsss 23886 . . . . . . . . . 10 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
3432, 33syl6eqssr 3805 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑆)
3534, 11sstrd 3762 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
3635sselda 3752 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
3731, 36sylan2 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑦 ∈ ℂ)
3834, 4sseldd 3753 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑆)
3911, 38sseldd 3753 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4039adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
4137, 40subcld 10594 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑦𝐶) ∈ ℂ)
42 toponss 20952 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝑌𝐾) → 𝑌𝑆)
4314, 17, 42syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑆)
4443, 11sstrd 3762 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
453, 44fssd 6197 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
46 ffvelrn 6500 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4745, 31, 46syl2an 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4844, 5sseldd 3753 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4948adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5047, 49subcld 10594 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
51 eldifsni 4457 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑦𝐶)
5251adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑦𝐶)
5347, 49subeq0ad 10604 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = 0 ↔ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐶)))
54 f1of1 6277 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
551, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋1-1𝑌)
5655adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
5731adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑦𝑋)
584adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶𝑋)
59 f1fveq 6662 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑦𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝐶) ↔ 𝑦 = 𝐶))
6056, 57, 58, 59syl12anc 1474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝐶) ↔ 𝑦 = 𝐶))
6153, 60bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = 0 ↔ 𝑦 = 𝐶))
6261necon3bid 2987 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) ≠ 0 ↔ 𝑦𝐶))
6352, 62mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) ≠ 0)
6441, 50, 63divcld 11003 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) ∈ ℂ)
65 limcresi 23869 . . . . . 6 (𝐹 lim (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) lim (𝐹𝐶))
6623feqmptd 6391 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)))
6766reseq1d 5533 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = ((𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})))
68 difss 3888 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ⊆ 𝑌
69 resmpt 5590 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ⊆ 𝑌 → ((𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧))
7167, 70syl6eq 2821 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)))
7271oveq1d 6808 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) lim (𝐹𝐶)) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)) lim (𝐹𝐶)))
7365, 72syl5sseq 3802 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 lim (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)) lim (𝐹𝐶)))
74 f1ocnvfv1 6675 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
751, 4, 74syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
76 dvcnv.i . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
7776, 5cnlimci 23873 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝐶)) ∈ (𝐹 lim (𝐹𝐶)))
7875, 77eqeltrrd 2851 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim (𝐹𝐶)))
7973, 78sseldd 3753 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)) lim (𝐹𝐶)))
8045, 35, 4dvlem 23880 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ ℂ)
8137, 40, 52subne0d 10603 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑦𝐶) ≠ 0)
8250, 41, 63, 81divne0d 11019 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ≠ 0)
83 eldifsn 4453 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ ℂ ∧ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ≠ 0))
8480, 82, 83sylanbrc 572 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
85 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))
8684, 85fmptd 6527 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶(ℂ ∖ {0}))
87 difss 3888 . . . . . . 7 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
8887a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
89 eqid 2771 . . . . . 6 (𝐽t (ℂ ∖ {0})) = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
904, 32eleqtrrd 2853 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
91 dvfg 23890 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
92 ffun 6188 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
93 funfvbrb 6473 . . . . . . . . . 10 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
949, 91, 92, 934syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
9590, 94mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))
966, 7, 85, 11, 45, 34eldv 23882 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) lim 𝐶))))
9795, 96mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) lim 𝐶)))
9897simprd 483 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) lim 𝐶))
99 resttopon 21186 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1008, 87, 99mp2an 672 . . . . . . . . 9 (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0}))
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1028a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
103 1cnd 10258 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
104101, 102, 103cnmptc 21686 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 1) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn 𝐽))
105101cnmptid 21685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn (𝐽t (ℂ ∖ {0}))))
1067, 89divcn 22891 . . . . . . . . 9 / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t (ℂ ∖ {0}))) Cn 𝐽)
107106a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t (ℂ ∖ {0}))) Cn 𝐽))
108101, 104, 105, 107cnmpt12f 21690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn 𝐽))
1099, 91syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
11032feq2d 6171 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
111109, 110mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
112111, 4ffvelrnd 6503 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
113 ffn 6185 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
114109, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
115 fnfvelrn 6499 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
116114, 90, 115syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
117 dvcnv.z . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
118 nelne2 3040 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ∧ ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹)) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ≠ 0)
119116, 117, 118syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ≠ 0)
120 eldifsn 4453 . . . . . . . 8 (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ≠ 0))
121112, 119, 120sylanbrc 572 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
122100toponunii 20941 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
123122cncnpi 21303 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn 𝐽) ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ {0})) CnP 𝐽)‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
124108, 121, 123syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ {0})) CnP 𝐽)‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
12586, 88, 7, 89, 98, 124limccnp 23875 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) lim 𝐶))
126 oveq2 6801 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) → (1 / 𝑥) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
127 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))
128 ovex 6823 . . . . . . 7 (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ V
129126, 127, 128fvmpt 6424 . . . . . 6 (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
130121, 129syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
131 eqidd 2772 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))))
132 eqidd 2772 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)))
133 oveq2 6801 . . . . . . . 8 (𝑥 = (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) → (1 / 𝑥) = (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))))
13484, 131, 132, 133fmptco 6539 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))))
13550, 41, 63, 81recdivd 11020 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) = ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
136135mpteq2dva 4878 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))))
137134, 136eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))))
138137oveq1d 6808 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
139125, 130, 1383eltr3d 2864 . . . 4 (𝜑 → (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
140 oveq1 6800 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝑦𝐶) = ((𝐹𝑧) − 𝐶))
141 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐹𝑧)))
142141oveq1d 6808 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))
143140, 142oveq12d 6811 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) = (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))))
144 eldifsni 4457 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) → 𝑧 ≠ (𝐹𝐶))
145144adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝑧 ≠ (𝐹𝐶))
146145necomd 2998 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (𝐹𝐶) ≠ 𝑧)
1471adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
1484adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝐶𝑋)
14924adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝑧𝑌)
150 f1ocnvfvb 6678 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐶𝑋𝑧𝑌) → ((𝐹𝐶) = 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) = 𝐶))
151147, 148, 149, 150syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝐶) = 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) = 𝐶))
152151necon3abid 2979 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝐶) ≠ 𝑧 ↔ ¬ (𝐹𝑧) = 𝐶))
153146, 152mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ¬ (𝐹𝑧) = 𝐶)
154153pm2.21d 119 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝑧) = 𝐶 → (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
155154impr 442 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ∧ (𝐹𝑧) = 𝐶)) → (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
15630, 64, 79, 139, 143, 155limcco 23877 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))
15775eqcomd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
158157adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝐶 = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
159158oveq2d 6809 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝑧) − 𝐶) = ((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))))
160 f1ocnvfv2 6676 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑧𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
1611, 24, 160syl2an 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
162161oveq1d 6808 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)) = (𝑧 − (𝐹𝐶)))
163159, 162oveq12d 6811 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))) = (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶))))
164163mpteq2dva 4878 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))))
165164oveq1d 6808 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))
166156, 165eleqtrd 2852 . 2 (𝜑 → (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))
167 eqid 2771 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶))))
16823, 35fssd 6197 . . 3 (𝜑𝐹:𝑌⟶ℂ)
1696, 7, 167, 11, 168, 43eldv 23882 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐶)(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝐾)‘𝑌) ∧ (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))))
17020, 166, 169mpbir2and 692 1 (𝜑 → (𝐹𝐶)(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316  {cpr 4318   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  ccom 5253  Fun wfun 6025   Fn wfn 6026  wf 6027  1-1wf1 6028  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139  cmin 10468   / cdiv 10886  t crest 16289  TopOpenctopn 16290  fldccnfld 19961  Topctop 20918  TopOnctopon 20935  intcnt 21042   Cn ccn 21249   CnP ccnp 21250   ×t ctx 21584  cnccncf 22899   lim climc 23846   D cdv 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  dvcnv  23960
  Copyright terms: Public domain W3C validator