MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvlem 23720
Description: Lemma for dvcnvre 23763. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnv.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
dvcnv.k 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
dvcnv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcnv.y (𝜑𝑌𝐾)
dvcnv.f (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
dvcnv.i (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
dvcnv.d (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvcnv.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
dvcnv.c (𝜑𝐶𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvcnvlem (𝜑 → (𝐹𝐶)(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcnvlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnv.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
2 f1of 6124 . . . . 5 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
4 dvcnv.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
53, 4ffvelrnd 6346 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝑌)
6 dvcnv.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
7 dvcnv.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
87cnfldtopon 22567 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9 dvcnv.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10 recnprss 23649 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
12 resttopon 20946 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
138, 11, 12sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
146, 13syl5eqel 2703 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
15 topontop 20699 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐾 ∈ Top)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 dvcnv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐾)
18 isopn3i 20867 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌𝐾) → ((int‘𝐾)‘𝑌) = 𝑌)
1916, 17, 18syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((int‘𝐾)‘𝑌) = 𝑌)
205, 19eleqtrrd 2702 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝐾)‘𝑌))
21 f1ocnv 6136 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
22 f1of 6124 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
231, 21, 223syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
24 eldifi 3724 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) → 𝑧𝑌)
25 ffvelrn 6343 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑌𝑋𝑧𝑌) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑋)
2623, 24, 25syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑋)
2726anim1i 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶))
28 eldifsn 4308 . . . . . 6 ((𝐹𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶))
2927, 28sylibr 224 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶) → (𝐹𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
3029anasss 678 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
31 eldifi 3724 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑦𝑋)
32 dvcnv.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
33 dvbsss 23647 . . . . . . . . . 10 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
3432, 33syl6eqssr 3648 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑆)
3534, 11sstrd 3605 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
3635sselda 3595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
3731, 36sylan2 491 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑦 ∈ ℂ)
3834, 4sseldd 3596 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑆)
3911, 38sseldd 3596 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4039adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
4137, 40subcld 10377 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑦𝐶) ∈ ℂ)
42 toponss 20712 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝑌𝐾) → 𝑌𝑆)
4314, 17, 42syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑆)
4443, 11sstrd 3605 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
453, 44fssd 6044 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
46 ffvelrn 6343 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4745, 31, 46syl2an 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4844, 5sseldd 3596 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4948adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5047, 49subcld 10377 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
51 eldifsni 4311 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑦𝐶)
5251adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑦𝐶)
5347, 49subeq0ad 10387 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = 0 ↔ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐶)))
54 f1of1 6123 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
551, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋1-1𝑌)
5655adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
5731adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑦𝑋)
584adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶𝑋)
59 f1fveq 6504 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑦𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝐶) ↔ 𝑦 = 𝐶))
6056, 57, 58, 59syl12anc 1322 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝐶) ↔ 𝑦 = 𝐶))
6153, 60bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = 0 ↔ 𝑦 = 𝐶))
6261necon3bid 2835 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) ≠ 0 ↔ 𝑦𝐶))
6352, 62mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) ≠ 0)
6441, 50, 63divcld 10786 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) ∈ ℂ)
65 limcresi 23630 . . . . . 6 (𝐹 lim (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) lim (𝐹𝐶))
6623feqmptd 6236 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)))
6766reseq1d 5384 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = ((𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})))
68 difss 3729 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ⊆ 𝑌
69 resmpt 5437 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ⊆ 𝑌 → ((𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧))
7167, 70syl6eq 2670 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)))
7271oveq1d 6650 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) lim (𝐹𝐶)) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)) lim (𝐹𝐶)))
7365, 72syl5sseq 3645 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 lim (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)) lim (𝐹𝐶)))
74 f1ocnvfv1 6517 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
751, 4, 74syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
76 dvcnv.i . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
7776, 5cnlimci 23634 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝐶)) ∈ (𝐹 lim (𝐹𝐶)))
7875, 77eqeltrrd 2700 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim (𝐹𝐶)))
7973, 78sseldd 3596 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)) lim (𝐹𝐶)))
8045, 35, 4dvlem 23641 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ ℂ)
8137, 40, 52subne0d 10386 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑦𝐶) ≠ 0)
8250, 41, 63, 81divne0d 10802 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ≠ 0)
83 eldifsn 4308 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ ℂ ∧ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ≠ 0))
8480, 82, 83sylanbrc 697 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
85 eqid 2620 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))
8684, 85fmptd 6371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶(ℂ ∖ {0}))
87 difss 3729 . . . . . . 7 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
8887a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
89 eqid 2620 . . . . . 6 (𝐽t (ℂ ∖ {0})) = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
904, 32eleqtrrd 2702 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
91 dvfg 23651 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
92 ffun 6035 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
93 funfvbrb 6316 . . . . . . . . . 10 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
949, 91, 92, 934syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
9590, 94mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))
966, 7, 85, 11, 45, 34eldv 23643 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) lim 𝐶))))
9795, 96mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) lim 𝐶)))
9897simprd 479 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) lim 𝐶))
99 resttopon 20946 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1008, 87, 99mp2an 707 . . . . . . . . 9 (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0}))
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1028a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
103 1cnd 10041 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
104101, 102, 103cnmptc 21446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 1) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn 𝐽))
105101cnmptid 21445 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn (𝐽t (ℂ ∖ {0}))))
1067, 89divcn 22652 . . . . . . . . 9 / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t (ℂ ∖ {0}))) Cn 𝐽)
107106a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t (ℂ ∖ {0}))) Cn 𝐽))
108101, 104, 105, 107cnmpt12f 21450 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn 𝐽))
1099, 91syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
11032feq2d 6018 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
111109, 110mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
112111, 4ffvelrnd 6346 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
113 ffn 6032 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
114109, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
115 fnfvelrn 6342 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
116114, 90, 115syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
117 dvcnv.z . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
118 nelne2 2888 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ∧ ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹)) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ≠ 0)
119116, 117, 118syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ≠ 0)
120 eldifsn 4308 . . . . . . . 8 (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ≠ 0))
121112, 119, 120sylanbrc 697 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
122100toponunii 20702 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
123122cncnpi 21063 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn 𝐽) ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ {0})) CnP 𝐽)‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
124108, 121, 123syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ {0})) CnP 𝐽)‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
12586, 88, 7, 89, 98, 124limccnp 23636 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) lim 𝐶))
126 oveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) → (1 / 𝑥) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
127 eqid 2620 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))
128 ovex 6663 . . . . . . 7 (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ V
129126, 127, 128fvmpt 6269 . . . . . 6 (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
130121, 129syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
131 eqidd 2621 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))))
132 eqidd 2621 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)))
133 oveq2 6643 . . . . . . . 8 (𝑥 = (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) → (1 / 𝑥) = (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))))
13484, 131, 132, 133fmptco 6382 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))))
13550, 41, 63, 81recdivd 10803 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) = ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
136135mpteq2dva 4735 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))))
137134, 136eqtrd 2654 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))))
138137oveq1d 6650 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
139125, 130, 1383eltr3d 2713 . . . 4 (𝜑 → (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
140 oveq1 6642 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝑦𝐶) = ((𝐹𝑧) − 𝐶))
141 fveq2 6178 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐹𝑧)))
142141oveq1d 6650 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))
143140, 142oveq12d 6653 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) = (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))))
144 eldifsni 4311 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) → 𝑧 ≠ (𝐹𝐶))
145144adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝑧 ≠ (𝐹𝐶))
146145necomd 2846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (𝐹𝐶) ≠ 𝑧)
1471adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
1484adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝐶𝑋)
14924adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝑧𝑌)
150 f1ocnvfvb 6520 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐶𝑋𝑧𝑌) → ((𝐹𝐶) = 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) = 𝐶))
151147, 148, 149, 150syl3anc 1324 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝐶) = 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) = 𝐶))
152151necon3abid 2827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝐶) ≠ 𝑧 ↔ ¬ (𝐹𝑧) = 𝐶))
153146, 152mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ¬ (𝐹𝑧) = 𝐶)
154153pm2.21d 118 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝑧) = 𝐶 → (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
155154impr 648 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ∧ (𝐹𝑧) = 𝐶)) → (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
15630, 64, 79, 139, 143, 155limcco 23638 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))
15775eqcomd 2626 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
158157adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝐶 = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
159158oveq2d 6651 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝑧) − 𝐶) = ((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))))
160 f1ocnvfv2 6518 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑧𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
1611, 24, 160syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
162161oveq1d 6650 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)) = (𝑧 − (𝐹𝐶)))
163159, 162oveq12d 6653 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))) = (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶))))
164163mpteq2dva 4735 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))))
165164oveq1d 6650 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))
166156, 165eleqtrd 2701 . 2 (𝜑 → (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))
167 eqid 2620 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶))))
16823, 35fssd 6044 . . 3 (𝜑𝐹:𝑌⟶ℂ)
1696, 7, 167, 11, 168, 43eldv 23643 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐶)(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝐾)‘𝑌) ∧ (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))))
17020, 166, 169mpbir2and 956 1 (𝜑 → (𝐹𝐶)(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  cdif 3564  wss 3567  {csn 4168  {cpr 4170   class class class wbr 4644  cmpt 4720  ccnv 5103  dom cdm 5104  ran crn 5105  cres 5106  ccom 5108  Fun wfun 5870   Fn wfn 5871  wf 5872  1-1wf1 5873  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922  cmin 10251   / cdiv 10669  t crest 16062  TopOpenctopn 16063  fldccnfld 19727  Topctop 20679  TopOnctopon 20696  intcnt 20802   Cn ccn 21009   CnP ccnp 21010   ×t ctx 21344  cnccncf 22660   lim climc 23607   D cdv 23608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612
This theorem is referenced by:  dvcnv  23721
  Copyright terms: Public domain W3C validator