MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnsqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnsqrt 24530
Description: Derivative of square root function. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvcncxp1.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvcnsqrt (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcnsqrt
StepHypRef Expression
1 halfcn 11285 . . 3 (1 / 2) ∈ ℂ
2 dvcncxp1.d . . . 4 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
32dvcncxp1 24529 . . 3 ((1 / 2) ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)))))
41, 3ax-mp 5 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))))
5 difss 3770 . . . . . . 7 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
62, 5eqsstri 3668 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
76sseli 3632 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
8 cxpsqrt 24494 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
109mpteq2ia 4773 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))) = (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥))
1110oveq2i 6701 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
12 1p0e1 11171 . . . . . . . . . . 11 (1 + 0) = 1
13 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
14 2halves 11298 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
1612, 15eqtr4i 2676 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2))
17 0cn 10070 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
18 addsubeq4 10334 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ)) → ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))))
1913, 17, 1, 1, 18mp4an 709 . . . . . . . . . 10 ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2)))
2016, 19mpbi 220 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))
21 df-neg 10307 . . . . . . . . 9 -(1 / 2) = (0 − (1 / 2))
2220, 21eqtr4i 2676 . . . . . . . 8 ((1 / 2) − 1) = -(1 / 2)
2322oveq2i 6701 . . . . . . 7 (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (𝑥𝑐-(1 / 2))
242logdmn0 24431 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
251a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (1 / 2) ∈ ℂ)
267, 24, 25cxpnegd 24506 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
2723, 26syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
289oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
2927, 28eqtrd 2685 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (√‘𝑥)))
3029oveq2d 6706 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))) = ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))))
31 1cnd 10094 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 1 ∈ ℂ)
32 2cnd 11131 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 2 ∈ ℂ)
337sqrtcld 14220 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
34 2ne0 11151 . . . . . . 7 2 ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 2 ≠ 0)
367adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
37 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → (√‘𝑥) = 0)
3836, 37sqr00d 14224 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
3938ex 449 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((√‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 0))
4039necon3d 2844 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥 ≠ 0 → (√‘𝑥) ≠ 0))
4124, 40mpd 15 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (√‘𝑥) ≠ 0)
4231, 32, 31, 33, 35, 41divmuldivd 10880 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
43 1t1e1 11213 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
4443oveq1i 6700 . . . . 5 ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥)))
4542, 44syl6eq 2701 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
4630, 45eqtrd 2685 . . 3 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
4746mpteq2ia 4773 . 2 (𝑥𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
484, 11, 473eqtr3i 2681 1 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  -∞cmnf 10110  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  (,]cioc 12214  csqrt 14017   D cdv 23672  𝑐ccxp 24347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by:  dvasin  33626
  Copyright terms: Public domain W3C validator