MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcncxp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcncxp1 24529
Description: Derivative of complex power with respect to first argument on the complex plane. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvcncxp1.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvcncxp1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcncxp1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 10067 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 dvcncxp1.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
4 difss 3770 . . . . . . 7 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
53, 4eqsstri 3668 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
65sseli 3632 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
73logdmn0 24431 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
86, 7logcld 24362 . . . 4 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
98adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
106, 7reccld 10832 . . . 4 (𝑥𝐷 → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
1110adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
12 mulcl 10058 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
13 efcl 14857 . . . 4 ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15 ovexd 6720 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
163dvlog 24442 . . . 4 (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
173logcn 24438 . . . . . . . 8 (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)
18 cncff 22743 . . . . . . . 8 ((log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
1917, 18mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
2019feqmptd 6288 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
21 fvres 6245 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
2221mpteq2ia 4773 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ (log‘𝑥))
2320, 22syl6eq 2701 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (log‘𝑥)))
2423oveq2d 6706 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (log‘𝑥))))
2516, 24syl5reqr 2700 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / 𝑥)))
26 simpl 472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
27 efcl 14857 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
2827adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
29 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 1cnd 10094 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
312dvmptid 23765 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
32 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
332, 29, 30, 31, 32dvmptcmul 23772 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
34 mulid1 10075 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3534mpteq2dv 4778 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
3633, 35eqtrd 2685 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
37 dvef 23788 . . . . 5 (ℂ D exp) = exp
38 eff 14856 . . . . . . . 8 exp:ℂ⟶ℂ
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
4039feqmptd 6288 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4140oveq2d 6706 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))))
4237, 41, 403eqtr3a 2709 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
43 fveq2 6229 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
442, 2, 12, 26, 28, 28, 36, 42, 43, 43dvmptco 23780 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
45 oveq2 6698 . . . 4 (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
4645fveq2d 6233 . . 3 (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
4746oveq1d 6705 . . 3 (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
482, 2, 9, 11, 14, 15, 25, 44, 46, 47dvmptco 23780 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
496adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
507adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ≠ 0)
51 simpl 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
5249, 50, 51cxpefd 24503 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
5352mpteq2dva 4777 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝐴)) = (𝑥𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
5453oveq2d 6706 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
55 1cnd 10094 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → 1 ∈ ℂ)
5649, 50, 51, 55cxpsubd 24509 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (𝑥𝑐1)))
5749cxp1d 24497 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
5857oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑥𝑐𝐴) / (𝑥𝑐1)) = ((𝑥𝑐𝐴) / 𝑥))
5949, 51cxpcld 24499 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐𝐴) ∈ ℂ)
6059, 49, 50divrecd 10842 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑥𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
6156, 58, 603eqtrd 2689 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
6261oveq2d 6706 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
6351, 59, 11mul12d 10283 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
6459, 51, 11mulassd 10101 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
6563, 64eqtr4d 2688 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
6652oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
6766oveq1d 6705 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
6862, 65, 673eqtrd 2689 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
6968mpteq2dva 4777 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
7048, 54, 693eqtr4d 2695 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  {cpr 4212  cmpt 4762  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  -∞cmnf 10110  cmin 10304   / cdiv 10722  (,]cioc 12214  expce 14836  cnccncf 22726   D cdv 23672  logclog 24346  𝑐ccxp 24347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by:  dvcnsqrt  24530  binomcxplemdvbinom  38869
  Copyright terms: Public domain W3C validator