MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcmul 23926
Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcmul.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvcmul.x (𝜑𝑋𝑆)
dvcmul.c (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcmul (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcmul
StepHypRef Expression
1 dvcmul.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 fconst6g 6255 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
4 ssid 3765 . . . 4 𝑆𝑆
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆𝑆)
6 dvcmul.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
7 dvcmul.x . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
8 dvcmul.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9 recnprss 23887 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1110, 6, 7dvbss 23884 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
12 dvcmul.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
1311, 12sseldd 3745 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
147, 13sseldd 3745 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
15 fconst6g 6255 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
161, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
17 ssid 3765 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
19 dvconst 23899 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
2120dmeqd 5481 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
22 c0ex 10246 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
2322fconst 6252 . . . . . . . . . . 11 (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
2423fdmi 6213 . . . . . . . . . 10 dom (ℂ × {0}) = ℂ
2521, 24syl6eq 2810 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
2610, 25sseqtr4d 3783 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
27 dvres3 23896 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
288, 16, 18, 26, 27syl22anc 1478 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
29 xpssres 5592 . . . . . . . . 9 (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
3010, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
3130oveq2d 6830 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
3220reseq1d 5550 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
33 xpssres 5592 . . . . . . . . 9 (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
3410, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
3532, 34eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
3628, 31, 353eqtr3d 2802 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
3722fconst2 6635 . . . . . 6 ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0} ↔ (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
3836, 37sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0})
39 fdm 6212 . . . . 5 ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0} → dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = 𝑆)
4038, 39syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = 𝑆)
4114, 40eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
423, 5, 6, 7, 8, 41, 12dvmul 23923 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))‘𝐶) = ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))))
4336fveq1d 6355 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = ((𝑆 × {0})‘𝐶))
4422fvconst2 6634 . . . . . . 7 (𝐶𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
4514, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
4643, 45eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = 0)
4746oveq1d 6829 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) = (0 · (𝐹𝐶)))
486, 13ffvelrnd 6524 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4948mul02d 10446 . . . 4 (𝜑 → (0 · (𝐹𝐶)) = 0)
5047, 49eqtrd 2794 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) = 0)
51 fvconst2g 6632 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
521, 14, 51syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
5352oveq2d 6830 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴))
54 dvfg 23889 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
558, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
5655, 12ffvelrnd 6524 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
5756, 1mulcomd 10273 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
5853, 57eqtrd 2794 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
5950, 58oveq12d 6832 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))) = (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
601, 56mulcld 10272 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ℂ)
6160addid2d 10449 . 2 (𝜑 → (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
6242, 59, 613eqtrd 2798 1 (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323   × cxp 5264  dom cdm 5266  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑓 cof 7061  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148   + caddc 10151   · cmul 10153   D cdv 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator