MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcj 23932
Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (more general) relation version, see dvcjbr 23931. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcj ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))

Proof of Theorem dvcj
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 23890 . . . . 5 (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ
2 ffun 6209 . . . . 5 ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ → Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))
4 simpll 807 . . . . 5 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
5 simplr 809 . . . . 5 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
6 simpr 479 . . . . 5 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
74, 5, 6dvcjbr 23931 . . . 4 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
8 funbrfv 6396 . . . 4 (Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) → (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
93, 7, 8mpsyl 68 . . 3 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
109mpteq2dva 4896 . 2 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
11 cjf 14063 . . . . . . . . . . . . 13 ∗:ℂ⟶ℂ
12 fco 6219 . . . . . . . . . . . . 13 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
1311, 12mpan 708 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋⟶ℂ → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
1413ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
15 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
16 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
1714, 15, 16dvcjbr 23931 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥(ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))(∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)))
18 vex 3343 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
19 fvex 6363 . . . . . . . . . . 11 (∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) ∈ V
2018, 19breldm 5484 . . . . . . . . . 10 (𝑥(ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))(∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
2221ex 449 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))))
2322ssrdv 3750 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
24 ffvelrn 6521 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2524adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2625cjcjd 14158 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∗‘(∗‘(𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
2726mpteq2dva 4896 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥𝑋 ↦ (∗‘(∗‘(𝐹𝑥)))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
2825cjcld 14155 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∗‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
29 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3029feqmptd 6412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
3111a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ∗:ℂ⟶ℂ)
3231feqmptd 6412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑦)))
33 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (∗‘𝑦) = (∗‘(𝐹𝑥)))
3425, 30, 32, 33fmptco 6560 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ (∗‘(𝐹𝑥))))
35 fveq2 6353 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (∗‘(𝐹𝑥)) → (∗‘𝑦) = (∗‘(∗‘(𝐹𝑥))))
3628, 34, 32, 35fmptco 6560 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)) = (𝑥𝑋 ↦ (∗‘(∗‘(𝐹𝑥)))))
3727, 36, 303eqtr4d 2804 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)) = 𝐹)
3837oveq2d 6830 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))) = (ℝ D 𝐹))
3938dmeqd 5481 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))) = dom (ℝ D 𝐹))
4023, 39sseqtrd 3782 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
41 fvex 6363 . . . . . . . . . 10 (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ V
4218, 41breldm 5484 . . . . . . . . 9 (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
437, 42syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
4443ex 449 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))))
4544ssrdv 3750 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
4640, 45eqssd 3761 . . . . 5 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = dom (ℝ D 𝐹))
4746feq2d 6192 . . . 4 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ ↔ (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ))
481, 47mpbii 223 . . 3 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
4948feqmptd 6412 . 2 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)))
50 dvf 23890 . . . . 5 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
5150ffvelrni 6522 . . . 4 (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
5251adantl 473 . . 3 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
5350a1i 11 . . . 4 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
5453feqmptd 6412 . . 3 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
55 fveq2 6353 . . 3 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) → (∗‘𝑦) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
5652, 54, 32, 55fmptco 6560 . 2 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
5710, 49, 563eqtr4d 2804 1 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ccom 5270  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  ccj 14055   D cdv 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-icc 12395  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-rest 16305  df-topn 16306  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  dvfre  23933  dvmptcj  23950
  Copyright terms: Public domain W3C validator