MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvatan 24883
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
dvatan (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 10242 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 ax-1cn 10207 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
4 ax-icn 10208 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
5 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
75, 6atansssdm 24881 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ dom arctan
8 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
97, 8sseldi 3743 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom arctan)
10 atandm2 24825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
119, 10sylib 208 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
1211simp1d 1137 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
13 mulcl 10233 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
144, 12, 13sylancr 698 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
15 subcl 10493 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
163, 14, 15sylancr 698 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1711simp2d 1138 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0)
1816, 17logcld 24538 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (log‘(1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
19 addcl 10231 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
203, 14, 19sylancr 698 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
2111simp3d 1139 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0)
2220, 21logcld 24538 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (log‘(1 + (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
2318, 22subcld 10605 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))) ∈ ℂ)
24 ovexd 6845 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))) ∈ V)
25 ovexd 6845 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (𝑥 + i)) ∈ V)
265, 6atans2 24879 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷))
2726simp2bi 1141 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆 → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
2827adantl 473 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
29 negex 10492 . . . . . . . . 9 -i ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → -i ∈ V)
315logdmss 24609 . . . . . . . . . 10 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
32 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
3331, 32sseldi 3743 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
34 logf1o 24532 . . . . . . . . . . 11 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
35 f1of 6300 . . . . . . . . . . 11 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
3736ffvelrni 6523 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑦) ∈ ran log)
38 logrncn 24530 . . . . . . . . 9 ((log‘𝑦) ∈ ran log → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
3933, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
40 ovexd 6845 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → (1 / 𝑦) ∈ V)
414a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → i ∈ ℂ)
4241, 13sylan 489 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
433, 42, 15sylancr 698 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
4429a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ∈ V)
45 1cnd 10269 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
46 0cnd 10246 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
47 1cnd 10269 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
482, 47dvmptc 23941 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
494a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
50 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
512dvmptid 23940 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
522, 50, 45, 51, 41dvmptcmul 23947 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
534mulid1i 10255 . . . . . . . . . . . . 13 (i · 1) = i
5453mpteq2i 4894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5552, 54syl6eq 2811 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
562, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptsub 23950 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i)))
57 df-neg 10482 . . . . . . . . . . 11 -i = (0 − i)
5857mpteq2i 4894 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i))
5956, 58syl6eqr 2813 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i))
60 eqid 2761 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6160cnfldtopon 22808 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
625, 6atansopn 24880 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
63 toponss 20954 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6461, 62, 63mp2an 710 . . . . . . . . . 10 𝑆 ⊆ ℂ
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ⊆ ℂ)
6660cnfldtop 22809 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
6761toponunii 20944 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
6867restid 16317 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
6966, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
7069eqcomi 2770 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
7162a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
722, 43, 44, 59, 65, 70, 60, 71dvmptres 23946 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥𝑆 ↦ -i))
73 fssres 6232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7436, 31, 73mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7675feqmptd 6413 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (log ↾ 𝐷) = (𝑦𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)))
77 fvres 6370 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑦) = (log‘𝑦))
7877mpteq2ia 4893 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)) = (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦))
7976, 78syl6req 2812 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦)) = (log ↾ 𝐷))
8079oveq2d 6831 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ 𝐷)))
815dvlog 24618 . . . . . . . . 9 (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑦𝐷 ↦ (1 / 𝑦))
8280, 81syl6eq 2811 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ (1 / 𝑦)))
83 fveq2 6354 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 − (i · 𝑥))))
84 oveq2 6823 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 − (i · 𝑥))))
852, 2, 28, 30, 39, 40, 72, 82, 83, 84dvmptco 23955 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)))
86 irec 13179 . . . . . . . . . 10 (1 / i) = -i
8786oveq2i 6826 . . . . . . . . 9 ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)
884a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → i ∈ ℂ)
89 ine0 10678 . . . . . . . . . . . 12 i ≠ 0
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → i ≠ 0)
9116, 88, 17, 90recdiv2d 11032 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)))
9216, 17reccld 11007 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
9392, 88, 90divrecd 11017 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)))
94 1cnd 10269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 1 ∈ ℂ)
9594, 14, 88subdird 10700 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)))
964mulid2i 10256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · i) = i
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 · i) = i)
9888, 12, 88mul32d 10459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = ((i · i) · 𝑥))
99 ixi 10869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
10099oveq1i 6825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 𝑥) = (-1 · 𝑥)
10112mulm1d 10695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
102100, 101syl5eq 2807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · i) · 𝑥) = -𝑥)
10398, 102eqtrd 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = -𝑥)
10497, 103oveq12d 6833 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)) = (i − -𝑥))
105 subneg 10543 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
1064, 12, 105sylancr 698 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
10795, 104, 1063eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (i + 𝑥))
108 addcom 10435 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i + 𝑥) = (𝑥 + i))
1094, 12, 108sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i + 𝑥) = (𝑥 + i))
110107, 109eqtrd 2795 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (𝑥 + i))
111110oveq2d 6831 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)) = (1 / (𝑥 + i)))
11291, 93, 1113eqtr3d 2803 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = (1 / (𝑥 + i)))
11387, 112syl5eqr 2809 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i) = (1 / (𝑥 + i)))
114113mpteq2dva 4897 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
11585, 114eqtrd 2795 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
116 ovexd 6845 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (𝑥 − i)) ∈ V)
11726simp3bi 1142 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆 → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
118117adantl 473 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
1193, 42, 19sylancr 698 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1202, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptadd 23943 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)))
1214addid2i 10437 . . . . . . . . . . 11 (0 + i) = i
122121mpteq2i 4894 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
123120, 122syl6eq 2811 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
1242, 119, 49, 123, 65, 70, 60, 71dvmptres 23946 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥𝑆 ↦ i))
125 fveq2 6354 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 + (i · 𝑥))))
126 oveq2 6823 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 + (i · 𝑥))))
1272, 2, 118, 88, 39, 40, 124, 82, 125, 126dvmptco 23955 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)))
12894, 20, 88, 21, 90divdiv2d 11046 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))))
12994, 14, 88, 90divdird 11052 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)))
13086a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / i) = -i)
13112, 88, 90divcan3d 11019 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · 𝑥) / i) = 𝑥)
132130, 131oveq12d 6833 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)) = (-i + 𝑥))
133 negicn 10495 . . . . . . . . . . . . 13 -i ∈ ℂ
134 addcom 10435 . . . . . . . . . . . . 13 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
135133, 12, 134sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
136 negsub 10542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
13712, 4, 136sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
138135, 137eqtrd 2795 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 − i))
139129, 132, 1383eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = (𝑥 − i))
140139oveq2d 6831 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = (1 / (𝑥 − i)))
14194, 88, 20, 21div23d 11051 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))) = ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i))
142128, 140, 1413eqtr3rd 2804 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i) = (1 / (𝑥 − i)))
143142mpteq2dva 4897 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
144127, 143eqtrd 2795 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
1452, 18, 25, 115, 22, 116, 144dvmptsub 23950 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))))
146 subcl 10493 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
14712, 4, 146sylancl 697 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
148 addcl 10231 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
14912, 4, 148sylancl 697 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
15012sqcld 13221 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
151 addcl 10231 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
1523, 150, 151sylancr 698 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
153 atandm4 24827 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0))
154153simprbi 483 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom arctan → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
1559, 154syl 17 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
156147, 149, 152, 155divsubdird 11053 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))))
157137oveq1d 6830 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)))
158133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → -i ∈ ℂ)
15912, 158, 88pnpcand 10642 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
160157, 159eqtr3d 2797 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
161 2cn 11304 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
162161, 4, 89divreci 10983 . . . . . . . . . . 11 (2 / i) = (2 · (1 / i))
16386oveq2i 6826 . . . . . . . . . . 11 (2 · (1 / i)) = (2 · -i)
164162, 163eqtri 2783 . . . . . . . . . 10 (2 / i) = (2 · -i)
1651332timesi 11360 . . . . . . . . . 10 (2 · -i) = (-i + -i)
166133, 4negsubi 10572 . . . . . . . . . 10 (-i + -i) = (-i − i)
167164, 165, 1663eqtri 2787 . . . . . . . . 9 (2 / i) = (-i − i)
168160, 167syl6eqr 2813 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (2 / i))
169168oveq1d 6830 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
170147mulid1d 10270 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) · 1) = (𝑥 − i))
171147, 149mulcomd 10274 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
172 i2 13180 . . . . . . . . . . . . . 14 (i↑2) = -1
173172oveq2i 6826 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) − -1)
174 subneg 10543 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
175150, 3, 174sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
176173, 175syl5eq 2807 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) + 1))
177 subsq 13187 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
17812, 4, 177sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
179 addcom 10435 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
180150, 3, 179sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
181176, 178, 1803eqtr3d 2803 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)) = (1 + (𝑥↑2)))
182171, 181eqtrd 2795 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = (1 + (𝑥↑2)))
183170, 182oveq12d 6833 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))))
184 subneg 10543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
18512, 4, 184sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
186 atandm 24824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
1879, 186sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
188187simp2d 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ≠ -i)
189 subeq0 10520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) = 0 ↔ 𝑥 = -i))
190189necon3bid 2977 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
19112, 133, 190sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
192188, 191mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − -i) ≠ 0)
193185, 192eqnetrrd 3001 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 + i) ≠ 0)
194187simp3d 1139 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ≠ i)
195 subeq0 10520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) = 0 ↔ 𝑥 = i))
196195necon3bid 2977 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
19712, 4, 196sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
198194, 197mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − i) ≠ 0)
19994, 149, 147, 193, 198divcan5d 11040 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = (1 / (𝑥 + i)))
200183, 199eqtr3d 2797 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 + i)))
201149mulid1d 10270 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + i) · 1) = (𝑥 + i))
202201, 181oveq12d 6833 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))))
20394, 147, 149, 198, 193divcan5d 11040 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = (1 / (𝑥 − i)))
204202, 203eqtr3d 2797 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 − i)))
205200, 204oveq12d 6833 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))) = ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))))
206156, 169, 2053eqtr3rd 2804 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
207206mpteq2dva 4897 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))) = (𝑥𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
208145, 207eqtrd 2795 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
209 halfcl 11470 . . . . 5 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
2104, 209mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (i / 2) ∈ ℂ)
2112, 23, 24, 208, 210dvmptcmul 23947 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
212 df-atan 24815 . . . . . . 7 arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
213212reseq1i 5548 . . . . . 6 (arctan ↾ 𝑆) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆)
214 atanf 24828 . . . . . . . . 9 arctan:(ℂ ∖ {-i, i})⟶ℂ
215214fdmi 6214 . . . . . . . 8 dom arctan = (ℂ ∖ {-i, i})
2167, 215sseqtri 3779 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i})
217 resmpt 5608 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
218216, 217ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
219213, 218eqtri 2783 . . . . 5 (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
220219a1i 11 . . . 4 (⊤ → (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
221220oveq2d 6831 . . 3 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))))
222 2ne0 11326 . . . . . . 7 2 ≠ 0
223 divcan6 10945 . . . . . . 7 (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((i / 2) · (2 / i)) = 1)
2244, 89, 161, 222, 223mp4an 711 . . . . . 6 ((i / 2) · (2 / i)) = 1
225224oveq1i 6825 . . . . 5 (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (1 + (𝑥↑2)))
2264, 209mp1i 13 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i / 2) ∈ ℂ)
227161, 4, 89divcli 10980 . . . . . . 7 (2 / i) ∈ ℂ
228227a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (2 / i) ∈ ℂ)
229226, 228, 152, 155divassd 11049 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
230225, 229syl5eqr 2809 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
231230mpteq2dva 4897 . . 3 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
232211, 221, 2313eqtr4d 2805 . 2 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))))
233232trud 1642 1 (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wtru 1633  wcel 2140  wne 2933  {crab 3055  Vcvv 3341  cdif 3713  wss 3716  {csn 4322  {cpr 4324  cmpt 4882  dom cdm 5267  ran crn 5268  cres 5269  wf 6046  1-1-ontowf1o 6049  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150  ici 10151   + caddc 10152   · cmul 10154  -∞cmnf 10285  cmin 10479  -cneg 10480   / cdiv 10897  2c2 11283  (,]cioc 12390  cexp 13075  t crest 16304  TopOpenctopn 16305  fldccnfld 19969  Topctop 20921  TopOnctopon 20938   D cdv 23847  logclog 24522  arctancatan 24812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-bc 13305  df-hash 13333  df-shft 14027  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-tan 15022  df-pi 15023  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-perf 21164  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-cmp 21413  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-cncf 22903  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-atan 24815
This theorem is referenced by:  atancn  24884
  Copyright terms: Public domain W3C validator