Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddf Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvaddf.df (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvaddf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)))

Proof of Theorem dvaddf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvaddf.df . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
3 dvbsss 23886 . . . . 5 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
42, 3syl6eqssr 3798 . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
51, 4ssexd 4958 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
6 dvfg 23890 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
82feq2d 6193 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
97, 8mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
10 ffn 6207 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
12 dvfg 23890 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
14 dvaddf.dg . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1514feq2d 6193 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
1613, 15mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
17 ffn 6207 . . . 4 ((𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
19 dvfg 23890 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))⟶ℂ)
201, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))⟶ℂ)
21 recnprss 23888 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
221, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
23 addcl 10231 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
2423adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
25 dvaddf.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
26 dvaddf.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
27 inidm 3966 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑋) = 𝑋
2824, 25, 26, 5, 5, 27off 7079 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
2922, 28, 4dvbss 23885 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) ⊆ 𝑋)
3025adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
314adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋𝑆)
3226adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
3322adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
34 fvexd 6366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
35 fvexd 6366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V)
362eleq2d 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥𝑋))
3736biimpar 503 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
381adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
39 ffun 6210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
40 funfvbrb 6495 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
4138, 6, 39, 404syl 19 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
4237, 41mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
4314eleq2d 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥𝑋))
4443biimpar 503 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
45 ffun 6210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
46 funfvbrb 6495 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4738, 12, 45, 464syl 19 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4844, 47mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
49 eqid 2761 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5030, 31, 32, 31, 33, 34, 35, 42, 48, 49dvaddbr 23921 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
51 reldv 23854 . . . . . . . . . . 11 Rel (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))
5251releldmi 5518 . . . . . . . . . 10 (𝑥(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)))
5350, 52syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)))
5453ex 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝑋𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))))
5554ssrdv 3751 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)))
5629, 55eqssd 3762 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) = 𝑋)
5756feq2d 6193 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
5820, 57mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
59 ffn 6207 . . . 4 ((𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):𝑋⟶ℂ → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) Fn 𝑋)
6058, 59syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) Fn 𝑋)
61 eqidd 2762 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
62 eqidd 2762 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
6330, 31, 32, 31, 38, 37, 44dvadd 23923 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
6463eqcomd 2767 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) = ((𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))‘𝑥))
655, 11, 18, 60, 61, 62, 64offveq 7085 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)))
6665eqcomd 2767 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341   ⊆ wss 3716  {cpr 4324   class class class wbr 4805  dom cdm 5267  Fun wfun 6044   Fn wfn 6045  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ∘𝑓 cof 7062  ℂcc 10147  ℝcr 10148   + caddc 10152  TopOpenctopn 16305  ℂfldccnfld 19969   D cdv 23847 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-perf 21164  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-limc 23850  df-dv 23851 This theorem is referenced by:  dvmptadd  23943
 Copyright terms: Public domain W3C validator