Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dva1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dva1dim 36794
Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of partial vector space A. Remark in [Crawley] p. 120 line 21, but using a non-identity translation (nonzero vector) 𝐹 whose trace is 𝑃 rather than 𝑃 itself; 𝐹 exists by cdlemf 36372. 𝐸 is the division ring base by erngdv 36802, and 𝑠𝐹 is the scalar product by dvavsca 36826. 𝐹 must be a non-identity translation for the expression to be a 1-dimensional subspace, although the theorem doesn't require it. (Contributed by NM, 14-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dva1dim.l = (le‘𝐾)
dva1dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dva1dim.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dva1dim.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dva1dim.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dva1dim (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → {𝑔 ∣ ∃𝑠𝐸 𝑔 = (𝑠𝐹)} = {𝑔𝑇 ∣ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹)})
Distinct variable groups:   ,𝑠   𝐸,𝑠   𝑔,𝑠,𝐹   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑔,𝑠   𝑔,𝑊,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝐸(𝑔)   (𝑔)

Proof of Theorem dva1dim
StepHypRef Expression
1 dva1dim.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dva1dim.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 dva1dim.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3tendocl 36576 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
5 dva1dim.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝐾)
6 dva1dim.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
75, 1, 2, 6, 3tendotp 36570 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑠𝐹)) (𝑅𝐹))
84, 7jca 501 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘(𝑠𝐹)) (𝑅𝐹)))
983expb 1113 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝐹𝑇)) → ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘(𝑠𝐹)) (𝑅𝐹)))
109anass1rs 634 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘(𝑠𝐹)) (𝑅𝐹)))
11 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑠𝐹) → (𝑔𝑇 ↔ (𝑠𝐹) ∈ 𝑇))
12 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑠𝐹) → (𝑅𝑔) = (𝑅‘(𝑠𝐹)))
1312breq1d 4796 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑠𝐹) → ((𝑅𝑔) (𝑅𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑠𝐹)) (𝑅𝐹)))
1411, 13anbi12d 616 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑠𝐹) → ((𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹)) ↔ ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘(𝑠𝐹)) (𝑅𝐹))))
1510, 14syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑔 = (𝑠𝐹) → (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹))))
1615rexlimdva 3179 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑠𝐸 𝑔 = (𝑠𝐹) → (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹))))
17 simpll 750 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
18 simplr 752 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
19 simprl 754 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹))) → 𝑔𝑇)
20 simprr 756 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹))) → (𝑅𝑔) (𝑅𝐹))
215, 1, 2, 6, 3tendoex 36784 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑔𝑇) ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹)) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝐹) = 𝑔)
2217, 18, 19, 20, 21syl121anc 1481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹))) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝐹) = 𝑔)
23 eqcom 2778 . . . . . . 7 ((𝑠𝐹) = 𝑔𝑔 = (𝑠𝐹))
2423rexbii 3189 . . . . . 6 (∃𝑠𝐸 (𝑠𝐹) = 𝑔 ↔ ∃𝑠𝐸 𝑔 = (𝑠𝐹))
2522, 24sylib 208 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹))) → ∃𝑠𝐸 𝑔 = (𝑠𝐹))
2625ex 397 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹)) → ∃𝑠𝐸 𝑔 = (𝑠𝐹)))
2716, 26impbid 202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑠𝐸 𝑔 = (𝑠𝐹) ↔ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹))))
2827abbidv 2890 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → {𝑔 ∣ ∃𝑠𝐸 𝑔 = (𝑠𝐹)} = {𝑔 ∣ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹))})
29 df-rab 3070 . 2 {𝑔𝑇 ∣ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹)} = {𝑔 ∣ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹))}
3028, 29syl6eqr 2823 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → {𝑔 ∣ ∃𝑠𝐸 𝑔 = (𝑠𝐹)} = {𝑔𝑇 ∣ (𝑅𝑔) (𝑅𝐹)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  {cab 2757  wrex 3062  {crab 3065   class class class wbr 4786  cfv 6031  lecple 16156  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  trLctrl 35967  TEndoctendo 36561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-undef 7551  df-map 8011  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tendo 36564
This theorem is referenced by:  dvhb1dimN  36795  dia1dim  36871
  Copyright terms: Public domain W3C validator