Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstrvprob Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstrvprob 30842
Description: The distribution of a random variable is a probability law. (TODO: could be shortened using dstrvval 30841) (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3 (𝜑𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
Assertion
Ref Expression
dstrvprob (𝜑𝐷 ∈ Prob)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐷,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem dstrvprob
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
2 dstrvprob.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
32adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → 𝑃 ∈ Prob)
4 dstrvprob.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
54adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
6 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → 𝑎 ∈ 𝔅)
73, 5, 6orvcelel 30840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃)
8 prob01 30784 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
93, 7, 8syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
10 elunitrn 30252 . . . . . . . . 9 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ)
1110rexrd 10281 . . . . . . . 8 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ*)
12 elunitge0 30254 . . . . . . . 8 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
13 elxrge0 12474 . . . . . . . 8 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
1411, 12, 13sylanbrc 701 . . . . . . 7 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
159, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
161, 15fmpt3d 6549 . . . . 5 (𝜑𝐷:𝔅⟶(0[,]+∞))
17 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 = ∅) → 𝑎 = ∅)
1817oveq2d 6829 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 = ∅) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋RV/𝑐 E ∅))
1918fveq2d 6356 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 = ∅) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)))
20 brsigarn 30556 . . . . . . . . 9 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
21 elrnsiga 30498 . . . . . . . . 9 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
22 0elsiga 30486 . . . . . . . . 9 (𝔅 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝔅)
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 𝔅
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ 𝔅)
252, 4, 24orvcelel 30840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E ∅) ∈ dom 𝑃)
262, 25probvalrnd 30795 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)) ∈ ℝ)
271, 19, 24, 26fvmptd 6450 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷‘∅) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)))
282, 4, 24orvcelval 30839 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E ∅) = (𝑋 “ ∅))
2928fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)) = (𝑃‘(𝑋 “ ∅)))
30 ima0 5639 . . . . . . . 8 (𝑋 “ ∅) = ∅
3130fveq2i 6355 . . . . . . 7 (𝑃‘(𝑋 “ ∅)) = (𝑃‘∅)
32 probnul 30785 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
332, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
3431, 33syl5eq 2806 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋 “ ∅)) = 0)
3527, 29, 343eqtrd 2798 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘∅) = 0)
362, 4rrvvf 30815 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
3736ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
38 ffun 6209 . . . . . . . . . . 11 (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ → Fun 𝑋)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Fun 𝑋)
40 unipreima 29755 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑋 → (𝑋 𝑥) = 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))
4140fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑋 → (𝑃‘(𝑋 𝑥)) = (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)))
4239, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(𝑋 𝑥)) = (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)))
432ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ Prob)
44 domprobmeas 30781 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
46 nfv 1992 . . . . . . . . . . . 12 𝑎(𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅)
47 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 𝑥 ≼ ω
48 nfdisj1 4785 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎Disj 𝑎𝑥 𝑎
4947, 48nfan 1977 . . . . . . . . . . . 12 𝑎(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)
5046, 49nfan 1977 . . . . . . . . . . 11 𝑎((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎))
51 simplll 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝜑)
52 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎𝑥)
53 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅)
54 elelpwi 4315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑥𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) → 𝑎 ∈ 𝔅)
5552, 53, 54syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎 ∈ 𝔅)
562, 4rrvfinvima 30821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅 (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
5756r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
5851, 55, 57syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
5958ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑎𝑥 → (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃))
6050, 59ralrimi 3095 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → ∀𝑎𝑥 (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
61 simprl 811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑥 ≼ ω)
62 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎𝑥 𝑎)
63 disjpreima 29704 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝑋Disj 𝑎𝑥 𝑎) → Disj 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))
6439, 62, 63syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))
65 measvuni 30586 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ ∀𝑎𝑥 (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))) → (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
6645, 60, 61, 64, 65syl112anc 1481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
6742, 66eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(𝑋 𝑥)) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
684ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
691ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
7020, 21mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝔅 ran sigAlgebra)
71 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅)
72 sigaclcu 30489 . . . . . . . . . 10 ((𝔅 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ 𝔅)
7370, 71, 61, 72syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝔅)
7443, 68, 69, 73dstrvval 30841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝐷 𝑥) = (𝑃‘(𝑋 𝑥)))
751, 9fvmpt2d 6455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
7651, 55, 75syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
7743adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑃 ∈ Prob)
7868adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7977, 78, 55orvcelval 30839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋𝑎))
8079fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋𝑎)))
8176, 80eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋𝑎)))
8281ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑎𝑥 → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋𝑎))))
8350, 82ralrimi 3095 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → ∀𝑎𝑥 (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋𝑎)))
8450, 83esumeq2d 30408 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
8567, 74, 843eqtr4d 2804 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎))
8685ex 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎)))
8786ralrimiva 3104 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎)))
88 ismeas 30571 . . . . . 6 (𝔅 ran sigAlgebra → (𝐷 ∈ (measures‘𝔅) ↔ (𝐷:𝔅⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎)))))
8920, 21, 88mp2b 10 . . . . 5 (𝐷 ∈ (measures‘𝔅) ↔ (𝐷:𝔅⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎))))
9016, 35, 87, 89syl3anbrc 1429 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (measures‘𝔅))
911dmeqd 5481 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐷 = dom (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
9215ralrimiva 3104 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅 (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
93 dmmptg 5793 . . . . . . 7 (∀𝑎 ∈ 𝔅 (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) → dom (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅)
9492, 93syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅)
9591, 94eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐷 = 𝔅)
9695fveq2d 6356 . . . 4 (𝜑 → (measures‘dom 𝐷) = (measures‘𝔅))
9790, 96eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
98 measbasedom 30574 . . 3 (𝐷 ran measures ↔ 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
9997, 98sylibr 224 . 2 (𝜑𝐷 ran measures)
10095unieqd 4598 . . . . 5 (𝜑 dom 𝐷 = 𝔅)
101 unibrsiga 30558 . . . . 5 𝔅 = ℝ
102100, 101syl6eq 2810 . . . 4 (𝜑 dom 𝐷 = ℝ)
103102fveq2d 6356 . . 3 (𝜑 → (𝐷 dom 𝐷) = (𝐷‘ℝ))
104 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 = ℝ) → 𝑎 = ℝ)
105104oveq2d 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋RV/𝑐 E ℝ))
106 baselsiga 30487 . . . . . . . . . 10 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → ℝ ∈ 𝔅)
10720, 106mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ 𝔅)
1082, 4, 107orvcelval 30839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E ℝ) = (𝑋 “ ℝ))
109108adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑋RV/𝑐 E ℝ) = (𝑋 “ ℝ))
110105, 109eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋 “ ℝ))
111110fveq2d 6356 . . . . 5 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)))
112 fimacnv 6510 . . . . . . . . 9 (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ → (𝑋 “ ℝ) = dom 𝑃)
11336, 112syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 “ ℝ) = dom 𝑃)
114113fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)) = (𝑃 dom 𝑃))
115 probtot 30783 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
1162, 115syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
117114, 116eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)) = 1)
118117adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)) = 1)
119111, 118eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = 1)
120 1red 10247 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1211, 119, 107, 120fvmptd 6450 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘ℝ) = 1)
122103, 121eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → (𝐷 dom 𝐷) = 1)
123 elprob 30780 . 2 (𝐷 ∈ Prob ↔ (𝐷 ran measures ∧ (𝐷 dom 𝐷) = 1))
12499, 122, 123sylanbrc 701 1 (𝜑𝐷 ∈ Prob)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  c0 4058  𝒫 cpw 4302   cuni 4588   ciun 4672  Disj wdisj 4772   class class class wbr 4804  cmpt 4881   E cep 5178  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230  cdom 8119  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  +∞cpnf 10263  *cxr 10265  cle 10267  [,]cicc 12371  Σ*cesum 30398  sigAlgebracsiga 30479  𝔅cbrsiga 30553  measurescmeas 30567  Probcprb 30778  rRndVarcrrv 30811  RV/𝑐corvc 30826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-ac2 9477  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-ac 9129  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-plusf 17442  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-subrg 18980  df-abv 19019  df-lmod 19067  df-scaf 19068  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tmd 22077  df-tgp 22078  df-tsms 22131  df-trg 22164  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-nm 22588  df-ngp 22589  df-nrg 22591  df-nlm 22592  df-ii 22881  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-esum 30399  df-siga 30480  df-sigagen 30511  df-brsiga 30554  df-meas 30568  df-mbfm 30622  df-prob 30779  df-rrv 30812  df-orvc 30827
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator